Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng anpha: x-y+z-4=0

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x - y + z - 4 = 0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)² =16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:

$A . M (- \frac{1}{2}; 0; 0)$

$B . M (- \frac{1}{3}; 0; 0)$

$C . M (1; 0; 0)$

$D . M (\frac{1}{3}; 0; 0)$

Trả lời:

Chọn A

Gọi là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Theo đề bài ta có mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (α): x - y + z - 4 = 0 nên ta có phương trình a - b + c = 0 $\Leftrightarrow$ b = a + c

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0;1;2) và có véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; a + c; c)$ là

ax + (a + c)(y - 1) + c(z - 2) = 0

Khoảng cách từ tâm I (3;1;2) đến mặt phẳng (P) là

Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) ta có r²=16-h² ; r nhỏ nhất khi h lớn nhất.

Nên $h = \sqrt{\frac{9}{2 (1 + \frac{c}{a} + \frac{c^{2}}{a^{2}})}} \leq \sqrt{9 . \frac{2}{3}} = \sqrt{6}$

Dấu “=” xảy ra khi a = -2c. => một véc tơ pháp tuyến là

=> phương trình mặt phẳng (P) là 2x + y - z + 1 = 0.

Vậy tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0, (Q): x – 2y – 2 = 0

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (S): x + 2y – 2z + 2018 = 0 và (Q): x + my + (m -1)z + 2017 = 0. Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau

$d_{1} : \{\begin{matrix} x = 4 - 2 t \\ y = t \\ z = 3 \end{matrix}, d_{2} : \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = t' \\ z = - t' \end{matrix}$

Phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên là:

Xem lời giải »

Câu 4:

Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;1;2), B (-1; 3; -9). Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho $△ A B M$ vuông tại M.

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;3;3), phương trình đường trung tuyến $∆$ kẻ từ B là $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , phương trình đường phân giác trong $d$ của góc C là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là:

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB cân tại S. Góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy bằng $60 °$ , góc giữa SA và mặt phẳng đáy bằng 45⁰. Biết thể tích khối chóp S. ABCD bằng $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$ . Chiều cao của hình chóp S. ABCD bằng:

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;2;3), B (0;4;5). Gọi M là điểm sao cho MA=2MB. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): 2x - 2y - z + 6 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất xấp xỉ là bao nhiêu?

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho MA=MB, NB=2NC, PC=2PD. Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi T là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng anpha: x-y+z-4=0

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: