Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 3 (với m là tham số). 1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 3 (với m là tham số).

1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Gọi x₁, x₂ lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tích các giá trị của m để 2x₁ + x₂ = 1

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² – mx – 3 = 0 (*)

∆ = m² + 12 > 0 với mọi m

Nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\left(2\right)\\ x_1{x}_2=-3\left(3\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài: 2x₁ + x₂ = 1 (4)

Từ (2) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m\\ 2x_1+x_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-m\\ x_1+x_2=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-m\\ x_2=2m-1\end{array}\right.$

Thay vào (3) ta được: (1 – m)(2m – 1) = -3

⇔ 2m² – 3m – 2 = 0

⇔  $\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$