Biết I = tích phân của x / (4 − x^2) dx = − 1/2 ln (a/b) với a/b là phân số tối giản

Câu hỏi:

Biết $I={\int }_0^1\frac{x}{4-x^2}dx=-\frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b>0$ thì $a^2-b$ bằng  

A. 13

B. 5

C. -4

D. -2

Trả lời:

Chọn D

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

$\frac{x}{4-x^2}=\frac{-x}{(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right)$

$$\begin{gathered} I={\int }_0^1\frac{x}{4-x^2}dx=-\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right)dx \\ =-\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|\overline{)\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\Rightarrow a^2-b=-2\right. \end{gathered}$$