Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8,  . Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Chứng minh rằng $\frac{2}{\sin 4x}-\tan 2x=\cot 2x$.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

 a) Chứng minh rằng AF // CE.

b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 3 (với m là tham số).

1. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

2. Gọi x₁, x₂ lần lượt là hoành độ của A và B. Tính tích các giá trị của m để 2x₁ + x₂ = 1

Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 1.

Tính giá trị của biểu thức P = 2a³ + 6ab + 2b³ – 2024.

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH (H ∈ BC).

1) Cho AH = 6; BH = 3. Tính BC và số đo $\widehat{ABC}$ (góc làm tròn đến phút).

2) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại K. Hạ AE ⊥ BK (E ∈ BK). Chứng minh rằng: AK.AC = EH², từ đó suy ra BH.HC + BE.EK = AK.AC.

Chứng minh rằng m + 2014n chia hết cho 2015 khi và chỉ khi n + 2014m chia hết cho 2015.