Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g(x)= lnx/ (x+1)^2?

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $g (x) = \frac{\ln x}{{(x + 1)}^{2}}$ ?

A. $\frac{- \ln 2 x - x \ln 2}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + 1999$

B. $\frac{- \ln x}{x + 1} - \ln |\frac{x}{x + 1}| + 1998$

C. $\frac{\ln x}{x + 1} - \ln |\frac{x}{x + 1}| + 2016$

D. $\frac{\ln x}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + 2017$

Trả lời:

Hướng dẫn:

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{- 1}{x + 1} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{- \ln x}{x + 1} + \int \frac{1}{x (x + 1)} d x = \frac{- \ln x}{x + 1} + \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{- lnx}{x + 1} + + \int \frac{1}{x} d x - \int \frac{d x}{x + 1} A \\ \Leftrightarrow S = \frac{- \ln x}{x + 1} + (\ln |x| - \ln |x + 1|) + C = \frac{- \ln x}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + C \end{array}$ .