Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của h(x)= 1-lnx/x^1-x.lnx.(x^n+ln^nx) ?

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $h\left(x\right)=\frac{1-\ln x}{x^{1-n}.\ln x.\left(x^n+{\ln }^{n}x\right)}$?

Hướng dẫn:

Ta có : $L=\int \frac{1-\ln x}{x^{1-n}.\ln x.\left(x^n+{\ln }^{n}x\right)}dx=\int \frac{1-\ln x}{x^2}.\frac{1}{x^{-n-1}.\ln x.\left(x^n+{\ln }^{n}x\right)}dx=\int \frac{1-\ln x}{x^2}.\frac{1}{\frac{\ln x}{x}\left(1+\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}\right)}dx$

Đặt : $t=\frac{\ln x}{x}\Rightarrow dt=\frac{1-\ln x}{x^2}dx$

$\Rightarrow L=\int \frac{dt}{t\left(t^n+1\right)}=\int \frac{t^{n-1}dt}{t^n\left(t^n+1\right)}$

+ Đặt $u=t^n+1\Rightarrow du=n.t^{n-1}dt$

$\begin{array}{l}\Rightarrow L=\frac{1}{n}\int \frac{du}{u\left(u-1\right)}=\frac{1}{n}\int \left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}\right)du=\frac{1}{n}.\left[\ln \left|u-1\right|-\ln \left|u\right|\right]+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{u-1}{u}\right|+C\\ \iff L=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{t^n}{t^n+1}\right|+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}}{\frac{{\ln }^{n}x}{x^n}+1}\right|+C=\frac{1}{n}.\ln \left|\frac{{\ln }^{n}x}{{\ln }^{n}x+x^n}\right|+C\end{array}$