Tìm nguyên hàm 1/x^2 căn 2-x/ x dx ?

Câu hỏi:

Tìm $R = \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} d x$ ?

A. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

B. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

C. $R = \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

D. $R = \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

Trả lời:

Đặt $x = 2 \cos 2 t$ với $t \in (0; \frac{π}{2})$

Ta có : $\{\begin{cases} d x = - 4 \sin 2 t . d t \\ \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\frac{2 - 2 \sin 2 t}{2 + 2 \cos 2 t}} = \sqrt{\frac{4 \sin^{2} t}{4 \cos^{2} t}} = \frac{\sin t}{\cos t} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow R = - \int \frac{1}{4 \cos^{2} 2 t} . \frac{\sin t}{\cos t} . 4 \sin 2 t . d t = - \int \frac{2 \sin^{2} t}{\cos^{2} 2 t} d t = - \int \frac{1 - \cos 2 t}{\cos^{2} 2 t} d t \\ \Leftrightarrow R = - \int \frac{1}{\cos^{2} 2 t} d t + \int \frac{1}{\cos 2 t} d t = - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C \end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án A .