Cách viết phương trình mặt cầu có tâm I cực hay - Toán lớp 12

---

Cách viết phương trình mặt cầu có tâm I cực hay

Với Cách viết phương trình mặt cầu có tâm I cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình mặt cầu có tâm I từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và bán kính R Xem chi tiết
• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 Xem chi tiết
• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng Xem chi tiết
• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 theo một đường tròn có bán kính r Xem chi tiết
• Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước Xem chi tiết

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5.

Hướng dẫn:

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5 là:

(S): (x-2)²+(y-3)²+(z+1)²=25.

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A (4; -3; 7), B(2; 1; 3)

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm của AB

Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu.

⇒ I(3; -1;5)

Bán kính mặt cầu là:

R=IA= 3

Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:

(x-3)²+(y+1)²+(z-5)²=9

Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2

Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng

Phương pháp giải

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R

R=d(I;(P))

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))= 8/3

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:

(x-1)²+(y+2)²+z²=64/9

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

Hướng dẫn:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:

d(I;(Oxy))=|-2|/√(1² )=2

Phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) là:

(x-3)²+(y+1)²+(z+2)²=4

Bài 3: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn:

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

⇒ [BC→ , BD→ ]=(1;2;3)

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n→ =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD))= √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là:

(x-3)²+(y+2)²+(z+2)²=14

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R

Phương pháp giải

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là:

d=d(I;(P))

Bán kính R của mặt cầu được tính theo công thức:

R=√(r²+d² )

Khi đó phương trình mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 là:

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)

Bán kính R của mặt cầu là:

R= 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-2)²+(y-1)²+(z-3)²=25

Bài 2: Cho điểm A (1; 2; 4) và mặt phẳng (P): x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A, biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π

Hướng dẫn:

Gọi r là bán kính thiết diện

Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π

⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2

Phương trình mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;P)= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R=√(r²+d² )=4

Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:

(x-1)²+(y-2)²+(z-4)²=16

Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0, (Q): 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một đường tròn có diện tích là 20π.

Hướng dẫn:

I là giao điểm của (P) và Δ

I thuộc Δ nên I (1+7t; 3t; 1 – 2t)

Lại có I thuộc (P) nên:

5(1+7t) -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0

⇒ I(1;0;1)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là:

d(I;(Q))= (5√6)/3

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

πr² =20π ⇒ r=2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:

⇒ R=√(r² +d² )= √(330)/3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)²+y²+(z-1)²=110/3