Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa hay, chi tiết - Vật Lí lớp 12
Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa hay, chi tiết
Với Phương pháp đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa hay, chi tiết Vật Lí lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đường tròn hỗn hợp trong dao động điều hòa từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Vật Lí lớp 12.
A. Phương pháp & Ví dụ
1. Phương pháp
Cùng một dao động: x = Acos(ωt + φ)
v = vmaxcos(ωt + φ + π/2 ), vmax = Aω.
a = amaxcos(ωt + φ + π ), amax = Aω2.
F = Fmaxcos(ωt + φ + π), Fmax = m.amax = mω2A.
Biểu diễn các đại lượng dao động điều hòa trên cùng một đường tròn có 2 cách là đa điểm hoặc đa trục. Tùy vào từng bài toán mà ta áp dụng đường tròn nào cho phù hợp.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị -2π cm/s lần thứ 7 là
A. 6,5 s. B. 4,5 s. C. 2,5 s. D. 6,75 s.
Hướng dẫn:
Xác định “thời điểm” ⇒ dùng đường tròn đa điểm với 1 trục x,v : A = 4cm, vmax = 4π cm/s.
Thời điểm ban đầu của ly độ là Mox. Do vận tốc nhanh pha π/2 so với li độ Thời điểm ban đầu của vận tốc là Mov, đứng trước Mox góc π/2.
Vận tốc -2π cm/s tương ứng với M1 và M2 trên đường tròn.
N = 7 = 3.2 + 1 lần,
α = 3.2π + π/2 ⇒ t = 3T + T/4 = 6,5 s.
Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 1,6 m/s2 là
A. 1/6 s. B. 1/12 s. C. 1/24 s. D. 1/18 s.
Hướng dẫn:
Xác định “ khoảng thời gian” ⇒ dùng đường tròn đa trục.
f = 2 Hz ω = 4π rad/s, A = 2 cm, vmax = 8π cm/s, amax = 32 m/s2.
v = 4π cm/s tại M, a = 1,6 m/s2 tại N.
Từ M đến N có thể đi theo các cung M1N1, M1N2, M2N1, M2N2.
Cung M1N1 thì Δφmin = π/6
Δtmin = 1/24 s.
Ví dụ 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn √2.π cm/s và gia tốc lớn hơn 10 cm/s2 bằng
A. 7/24 s. B. 5/12 s.
C. 7/12 s. D. 5/24 s.
Hướng dẫn:
f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s, A = 2 cm, vmax = 2π cm/s, amax = 20 cm/s2.
v = π√2 cm/s tại M ⇒ v < π√2 cm/s ứng với cung lớn M1M2 (không tô đậm).
a = 10 cm/s2 tại N, a > 10 cm/s2 ứng với cung nhỏ N1N2 (không tô đậm).
Cung N2M1 không tô đậm thỏa mãn cả 2 điều kiện của v và a :
Δφ = 7π/12 ⇒ Δt = 7/12 s.
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = 6cos(2πt) cm, với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là
A. 0,30 s < t < 0,50 s
B. 0,15 s < t < 0,25 s
C. 0,50 s < t < 0,75 s
D. 0,20 s < t < 0,40 s
Lời giải:
Véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox khi vật chuyển động từ M1 đến M2
Gọi t1 là thời gian để vật đi từ M0 đến M1 ⇒ t1 = T/2 = 0,5 s
Gọi t2 là thời gian để vật đi từ M0 đến M2 ⇒ t2 = 3T/4 = 0,75 s
Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ có chiều cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian gần nhất là từ 0,5 s đến 0,75 s.
Câu 2. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 2 Hz. Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π2√2 cm/s2 là:
A. 1/12 s B. 1/48 s C. 11/24 s D. 11/48 s
Lời giải:
Ta có: ω = 4π rad/s
vmax = 4π.4 = 16π cm/s
amax = (4π)2.4 = 64 π2 cm/s2
T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 8π cm/s tại các điểm M1 và M2 các điểm có gia tốc 32π2√2 cm/s2 tại các điểm N1, N2 trên đường tròn đa trục như hình vẽ
Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 8π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 32π2√2 cm/s2 sẽ ứng với vật đi từ M1 đến N1 trên đường tròn
⇒ Δφ = π/4 - π/6 = π/12 ⇒ Δt = T/24 = 1/48 (s)
Câu 3. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 2 cm và tần số bằng 2 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng -3,2 m/s2 là:
A. 1/6 s B. 1/12 s C. 1/24 s D. 1/3 s
Lời giải:
Ta có: ω = 4π rad/s
vmax = 4π.2 = 8π cm/s
amax = (4π)2.2 = 3,2 cm/s2
T biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại các điểm M1 và M2 trên đường tròn đa trục như hình vẽ.
Vật có gia tốc bằng -3,2 m/s2 tại vị trí biên dương của li độ.
Để thời gian ngắn nhất thì vật đi từ vị trí điểm M2 tới biên dương của li độ
⇒ Δφ = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/24 (s)
Câu 4. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/s2 bằng:
A. 1/2 s B. 1/6 s C. 1/3 s D. 2/3 s
Lời giải:
Ta có f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s
⇒ vmax = 2π cm/s ⇒ amax = π2.2 = 20 cm/s2
Ta biểu diễn vị trí có vận tốc π cm/s tại các điểm M1, M2 và vị trí có gia tốc 10√3 cm/s2 tại các điểm N1, N2 trên đường tròn lượng giác như hình
Từ đường tròn ⇒ Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn π cm/s và gia tốc lớn hơn 10√3 cm/s2 khi vật đi từ N1 đến N2 trên đường tròn.
⇒ Δφ = π/3 ⇒ Δt = T/6 = 1/3 (s)
Câu 5.: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ bằng 4 cm và tần số bằng 1 Hz. Lấy gần đúng π2 = 10. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/s2 là:
A. 1/6 s B. 1/12 s C. 1/3 s D. 1/9 s
Lời giải:
Ta có: ω = 2π rad/s
vmax = 2π.4 = 8π cm/s
amax = (2π)2.4 = 160 cm/s2
Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 4π cm/s tại cái điểm M1, M2 và các điểm có giá tốc 80 cm/s2 tại các điểm N1, N2 trên đường tròn đa trục như hình vẽ
Khoảng thời ngắn nhất tính từ thời điểm vật có vận tốc bằng 4π cm/s đến thời điểm vật có gia tốc bằng 80 cm/s2 sẽ ứng với vật đi từ M1 đến N1 trên đường tròn.
⇒ Δφ = π/3 - π/6 = π/6 ⇒ Δt = T/12 = 1/12 (s)
Câu 6. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(2πt + π/6), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Tính từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s bao nhiêu lần ?
A. 5 B. 7 C. 4 D. 6
Lời giải:
Ta biểu diễn vị trí ban đầu của li độ tại điểm MOx trên đường tròn như hình vẽ
Do vận tốc sớm pha π/2 so với li độ nên pha ban đầu của vận tốc là tại điểm MOv
Ta biểu diễn vị trí chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s tại các điểm M1, M2 trên đường tròn
Ta có T = 1 s ⇒ t = 3,5 s = 3T + T/2
Mỗi chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc bằng 3π√2 cm/s
sau 3 chu kì, chất diểm có 6 lần đạt vận tốc bằng 3π√2 cm/s
Sau 3T, chất điểm quay được 3 vòng trên đường tròn là trở về đúng vị trí MOv ban đầu.
Trong 0,5t tiếp theo, chất điểm quay đến vị trí M' trên đường tròn lượng giác ⇒ không đi qua vị trí có vận tốc bằng 3π√2 cm/s lần nào nữa.
Vậy từ thời điểm ban đầu, t = 0, trong khoảng thời gian 3,5 s đầu tiên, chất điểm đạt được vận tốc bằng 3π√2 cm/s 6 lần
Câu 7. Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 6 cm và tần số bằng 2 Hz. Trong khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π2 cm/s2, tốc độ trung bình của vật nhỏ bằng:
A. 36 cm/s B. 18 cm/s
C. 24 cm/s D. 32 cm/s
Lời giải:
Ta có: ω = 4π rad/s
vmax = 4π.6 = 24π cm/s
amax = (4π)2.6 = 96π2 cm/s2
Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 12π√3 cm/s tại các điểm M1, M2 và các điểm có gia tốc 48π2 cm/s2 tại các điểm N1, N2 trên đường tròn đa trục như hình vẽ
Vật có vận tốc nhỏ hơn 12π√3 cm/s và gia tốc lớn hơn 48π2 cm/s2 khi vật đi từ N2 đến N1 trên đường tròn
⇒ Δφ = π/3 + π/3 = 2π/3 ⇒ Δt = T/3 = 1/6 (s)
Mặt khác, s = 3 + 3 = 6 cm
⇒ |vtb| = 6/(1/6) = 36 cm/s
Câu 8. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt + π/3), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 2π cm/s lần thứ 5 là:
A. 29/6 s B. 29/12 s C. 9/6 s D. 9/2 s
Lời giải:
Ta có vmax = 4π cm/s
Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm MOx như hình vẽ
Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí mOv trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.
Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 2π cm/s tại các điểm M1, M2 trên đường tròn
Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 2π cm/s
Ta tách 5 = 2.2 + 1
⇒ t = 2T + Δt
Sau 2 chu kì, điểm MOv quay được 2 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại MOv.
Để chất điểm đạt vận tốc 2π cm/s lần thứ 5 thì vật cần quay đến vị trí M1
⇒ Δφ = 5π/6 ⇒ Δt = 5T/12
⇒ t = 2T + 5T/12 = 29T/12 = 29/6 (s)
Câu 9. Cho hai chất điểm dao động cùng tần số trên trục Ox với phương trình x1 = 4cos(πt + π/6) cm và x2 = 2cos(πt + π/2) cm. Thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm là:
A. 4/9 s B. 1/3 s C. 1/6 s D. 1/4 s
Lời giải:
Chất điểm 2 sớm pha hơn so với chất điểm 1 một góc π/3 nên ta vẽ đường tròn đa trục như hình vẽ.
Chất điểm thứ nhất có li độ bằng 2 cm khi nó ở vị trí M1, M2
Chất điểm thứ hai có li độ bằng √3 cm khi nó ở vị trí N1, N2
Khoảng thời gian ngắn nhất tính từ thời điểm chất điểm thứ nhất có ly độ bằng 2 cm đến thời điểm chất điểm thứ 2 có ly độ bằng √3 cm sẽ ứng với chất điểm đi từ M1 đến N2 trên đường tròn
⇒ ∠M1ON2 = π/6 ⇒ t = T/12 = 1/6 (s)
Câu 10. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(πt + π/4), với x tính bằng cm và t tính bằng giây. Thời điểm vận tốc của chất điểm đạt giá trị 3√3π cm/s lần thứ 3 là:
A. 24/7 s B. 37/12 s C. 29/7 s D. 37/6 s
Lời giải:
Ta có: vmax = 6π cm/s
Ta biểu diễn vị trí pha ban đầu của li độ của chất điểm tại điểm MOx như hình vẽ
Do vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2 nên pha ban đầu của vận tốc ở vị trí MOv trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.
Ta biểu diễn vị trí các điểm có vận tốc 3√3 cm/s tại các điểm M1, M2 trên đường tròn
Từ đường tròn dễ thấy, 1 chu kì có 2 lần chất điểm có vận tốc 3√3 cm/s
Ta tách 3 = 1.2 + 1
⇒ t = T + Δt
Sau 1 chu kì, điểm MOv quay được 1 vòng và trở về đúng vị trí ban đầu tại MOv .
Để chất điểm đạt vận tốc 3√3 cm/s lần thứ 3 thì vật cần quay đến vị trí M1
⇒ t = T + 13T/24 = 37T/24 = 37/12 (s)
