Các dạng toán về hình chữ nhật và cách giải

Các dạng toán về hình chữ nhật và cách giải

Tài liệu Các dạng toán về hình chữ nhật và cách giải Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân

2. Tính chất

- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác vuông:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M bất kì trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

Lời giải:

ΔABC vuông tại A nên ; mà D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC nên

Vì MD ⊥ AB tại D nên

ME ⊥ AC tại E nên

Xét tứ giác ADME có:

Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có:

Lại có: G đối xứng với với D qua M => GM = MD GD = 2GM (2)

G đối xứng với E qua N => GN = EN => GE = 2GN (3)

Từ (1); (2); (3) => => G là trung điểm của BD; G là trung điểm CE

Xét tứ giác BCDE có:

G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Do đó: tứ giác BCDE là hình bình hành

Lại có:

ΔABC cân tại A nên AB = AC. Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM

Xét tam giác BNC và tam giác CMB có:

BC chung

BN = CM

(do tam giác ABC cân tại A)

Do đó: ΔBNC = ΔCMB (c – g –c)

=> CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chép EC và BD bằng nhau

=> Hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình chữ nhật và các kiến thức đã học về tứ giác đặc biệt.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Lời giải:

Vì E là trung điểm của BC, H là trung điểm của AC nên EH là đường trung bình của ΔABC => EH // AB (*) và (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Tương tự ta chứng minh được GF là đường trung bình của ΔABD => GF // AB và (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) => HE // GF; HE = GF => GHEF là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết) (**)

Mặt khác ta cũng chứng minh được EF là đường trung bình của ΔBCD => EF // CD (3)

Kết hợp với AB ⊥ CD (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4) => HE ⊥ EF => (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết). Từ đó suy ra hai đường chéo EG = FH (tính chất của hình chữ nhật).

Dạng 3: Sử dụng định lý thuận và đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Lời giải:

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 cm.

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có:

BH² + AH² = AB² (định lý Py – ta – go)

⇔ AH² = AB² - BH²

⇔ AH² = AB² - 2²

⇔ AH² = AB² - 4 (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có:

HD² + AH² = AD² (định lý Py – ta – go)

⇔ AH² = AD² - HD²

⇔ AH² = AD² - 6²

⇔ AH² = AD² - 36 (2)

Từ (1); (2) => AB² - 4 = AD² - 36 (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB² (định lý Py – ta – go)

AB² + AD² = 8²

⇔ AB² = 64 - AD² thay vào (3)

⇔ 64 - AD² - 4 = AD² - 36

⇔ 2AD² = 96

⇔ AD² = 48

⇔ AD = 4√3

=> AB² = 64 - (4√3)²

⇔ AB² = 16

=> AB = 4 cm

Vậy AD = 4√3 ; AB = 4 cm

Ví dụ 2: Cho vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài AM.

Lời giải:

ΔABC vuông tại A có:

BC² = AB² + AC² (định lý Pytago)

Thay số: BC² = 3² + 4² = 25 => BC = 5cm

Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

Ví dụ 3: Cho hình thang vuông ABCD có các điểm E, F thuộc cạnh AD sao cho AE = DF và . Chứng minh

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của EF

=> NE = NF, mà AE = DF (gt)

=> AE + NE = DF + NF

=> AN = DN

=> N là trung điểm của AD

Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=> MN // AB.

Mặt khác AB ⊥ AD (do hình thang ABCD vuông tại A và D)

Nên MN ⊥ AD => MN ⊥ EF

Xét ΔMEF có:

MN là đường cao,

MN là đường trung tuyến (do N là trung điểm của EF)

=> ΔMEF cân tại M nên ME = MF (1)

Lại có:

ΔBFC vuông tại F

M là trung điểm của BC

Nên MF = MB = MC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) => ME = MB = MC.

=> ΔBEC vuông tại E (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

(đpcm).

Dạng 4. Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh EFGH là hình bình hành.

b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Ta có:

E là trung điểm của AB, H là trung điểm của AD nên HE là đường trung bình của ΔABD

F là trung điểm BC, G là trung điểm của DC nên FG là đường trung bình của ΔBCD nên:

Từ (1) và (2)

Xét tứ giác EFGH ta có

Do đó: EFGH là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b) Giả sử EFGH là hình chữ nhật (3)

Ta có:

E là trung điểm của AB,

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của

=> EF //AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Mà HE // BD (chứng minh a) (5)

Từ (3), (4), (5) => BD ⊥ AC .

=> Tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc.

Tứ giác ABCD cần có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì EFGH là hình chữ nhật.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M thuộc AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Bài 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. Chứng minh:

a) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật;

b) HG = GK = KE.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M di động trên cạnh BC. Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao?

b) Chứng minh AM = DE;

c) Chứng minh khi điểm M thay đổi trên cạnh BC thì chu vi tứ giác ADME không thay đổi;

d) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kì trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và AD tại H và K. Chứng minh:

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật;

b) AF // BD;

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM và AB, K là giao điểm của EM và AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật;

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD. Điểm E, F lần lượt thuộc cạnh AD, AB. Gọi I, K, M, N theo thứ tự là trung điểm của EF, FD, BE, BD. Chứng minh IN = KM.

Bài 8. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.

a. Tính số đo góc IHK;

b. Chứng minh chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC.

Bài 11. Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Chứng minh rằng EFCH là hình bình hành.

Bài 12. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh CH ⊥ AB ;

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Bài 13. Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành;

b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 14. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân;

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.