Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Tài liệu Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Cách nhân đơn thức với đa thức

I. Quy tắc:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích của chúng lại với nhau.

Haylamdo biên soạn và sưu tầm mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì:

X^m.Xⁿ = X^m+n

X^m.Y^m= (XY)^m

II. Các dạng bài

Dạng 1: Rút gọn biểu thức sử dụng phép nhân đa thức với đơn thức

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để phá ngoặc và kết hợp với các phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Làm tính nhân:

a, 2x².(3x³ + 2x)

= 2x².3x³ + 2x².2x

= 6x⁵ + 4x³

b, 3x.(x² + 2x + 2)

= 3x.x² + 3x.2x + 3x.2

= 3x³ + 6x² + 6x

c, x³.(3x⁴ + 2x² + 1)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a, M = 2x² (x³ - x² + 1) + 4x(x⁴ - 2x³ + 1)

= 2x².x³ - 2x².x² + 2x².1 + 4x.x⁴ - 4x.2x³ + 4x

= 2x⁵ - 2x⁴ + 2x² + 4x⁵ - 8x⁴ + 4x

= (2x⁵ + 4x⁵) - (2x⁴ + 8x⁴) + 2x² + 4x

= 6x⁵ - 10x⁴ + 2x² + 4x

b, N = x³ (1 + 2x² - 4x) + 3x⁴(3 - x)

= x³.1 + x³.2x² - x³.4x + 3x⁴.3 - 3x⁴.x

= x³ + 2x⁵ - 4x⁴ + 9x⁴ - 3x⁵

= (2x⁵ - 3x⁵) + (9x⁴ - 4x⁴) + x³

= -x⁵ + 5x⁴ + x³

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức cho trước.

1. Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức đã cho sau đó thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:

a, A = 3x.(2x² - 1) tại x = 1

Ta có:

A = 3x.(2x² - 1)

= 3x.2x² - 3x.1

= 6x³ - 3x

Tại x = 1 thay vào biểu thức A ta được:

A = 6.1³ - 3.1 = 6 – 3 =3

b, B = 4x².(x² + 4x + 2) tại x =

Ta có:

B = 4x².(x² + 4x + 2)

= 4x².x² + 4x².4x + 4x².2

= 4x⁴ + 16x³ + 8x²

Tại x = thay vào B ta được:

c, C = 2x.(3x² - 5) tại x = 4

Ta có:

C = 2x.(3x² - 5)

= 2x.3x² - 2x.5

= 6x³ - 10x

Tại x = 4 thay vào C ta được:

C = 6.4³ - 10.4

= 384 – 40

= 344.

Dạng 3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

1. Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến

2. Ví dụ minh họa:

Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:

a, A = 3x. + (3x)²(x³ - 1) + (-2x + 9).x² - 12

b, B = x.(2x³ + x + 2) - 2x²(x² + 1) + x² - 2x + 1

c, C = x.(2x + 1) - x²(x + 2) + x³ - x + 3

Lời giải:

a, A = 3x. + (3x)²(x³ - 1) + (-2x + 9).x² - 12

= 2x³ - 9x⁵ + 9x²(x³ - 1) - 2x³ + 9x² - 12

= 2x³ - 9x⁵ + 9x⁵ - 9x² - 2x³ + 9x² - 12

= (2x³ - 2x³) + (9x⁵ - 9x⁵) + (9x² - 9x²) - 12

= -12

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x

b, B = x.(2x³ + x + 2) - 2x²(x² + 1) + x² - 2x + 1

= x.2x³ + x.x + x.2 - 2x².x² - 2x².1 + x² - 2x + 1

= (2x⁴ + x² + 2x) - (2x⁴ + 2x²) + x² - 2x + 1

= 2x⁴ + x² + 2x - 2x⁴ - 2x² + x² - 2x + 1

= (2x⁴ - 2x⁴) + (x² - 2x² + x²) + (2x - 2x) + 1

= 1

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến x

c, C = x.(2x + 1) - x²(x + 2) + x³ - x + 3

= x.2x + x.1 - x².x - x².2 + x² - x + 3

= (2x² + x) - (x³ + 2x²) + x³ - x + 3

= 2x² + x - x³ - 2x² + x³ - x + 3

= (2x² - 2x²) + (x³ - x³) + (x - x) + 3

= 3

Vậy giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:

a. Phương pháp giải:

- B1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc

- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.

b. Ví dụ minh họa:

Tìm x, biết:

a, 2.(5x – 8) – 3.(4x – 5) = 4.(3x – 4)+11

⇔ 2.5x – 2.8 – 3.4x + 3.5 = 4.3x – 16 +11

⇔ 10x – 16 – 12x + 15 = 12x – 5

⇔ -2x – 1 = 12x – 5

⇔ -2x – 12x = 1 – 5

⇔ -14x = - 4

⇔

Vậy

b, 2x(6x - 2x²) + 3x²(x - 4) = 8

⇔ 2x.6x - 2x.2x² + 3x².x - 3x².4 = 8

⇔ 12x² - 4x³ + 3x³ - 12x² = 8

⇔ (12x² - 12x²) + (3x³ - 4x³) = 8

⇔ -x³ = 8

⇔ x³ = -8

⇔ x =-2

Vậy x = -2

B. Cách nhân đa thức với đa thức:

I. Quy tắc:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tích với nhau

Ta có:

(A + B).(C + D)

= A.(C + D) + B.(C + D)

= A.C + A.D + B.C + B.D

II. Các dạng bài:

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

1. Phương pháp giải:

Sử dung quy tắc nhân đa thức với đa thức.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a, (2x + 1).(3x – 2)

= 2x.(3x – 2) + 1.(3x – 2)

= 2x.3x – 2x.2 + 1.3x – 1.2

= 6x² - 4x + 3x – 2

= 6x² - x – 2

b, (x² + x + 1).(x - 2)

= x².(x – 2) + x.(x – 2) + 1.(x – 2)

= x³ - 2x² + x² - 2x + x – 2

= x³ + (-2x² + x²) + ( -2x + x) - 2

= x³ - x² - x - 2

c, x.(xy – 1)(xy + 1)

= ( x²y - x ).(xy + 1)

= x²y(xy + 1) - x(xy + 1)

= x³y² + x²y - x²y - x

= x³y² - x

Dạng 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

1. Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến.

2. Ví dụ minh họa:

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:

a, P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 6) + 7

Ta có:

P = (x + 2).(x – 3) – x(x – 1) + 7

= x(x – 3) + 2.(x – 3) - x² + x + 7

= x² - 3x + 2x – 6 - x² + x + 7

= x² - x – 6 - x² + x + 7

= (x² - x²) + (x – x) + (7 – 6)

= 1

Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x

b, Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7

Ta có:

Q = (x + 2).(3x – 1) – x(3x + 3) – 2x + 7

= x.(3x – 1) + 2.(3x – 1) – x.(3x + 3) – 2x + 7

= 3x² - x + 6x – 2 - 3x² - 3x – 2x + 7

= (3x² - 3x²) + (6x – x – 3x – 2x) + (7 – 2)

= 5

Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của biến x

c, T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

Ta có:

T = (2x – 3)(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 2x.(2x + 3) – 3.(2x + 3) – x(3 + 4x) + 3x + 1

= 4x² + 6x – 6x – 9 – 3x - 4x² + 3x + 1

= (4x² - 4x²) + (6x – 6x – 3x + 3x) + (1 – 9)

= -8

Vậy giá trị của biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước:

a. Phương pháp giải:

- B1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc

- B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.

b. Ví dụ minh họa:

a, (x - 2)(x + 3) - (x - 3)(x - 5) = 0

⇔ x(x + 3) - 2(x + 3) - x(x + 5) + 3(x + 5) = 0

⇔ x.x + x.3 - 2.x - 2.3 - x.x - x.5 + 3.x + 3.5 = 0

⇔ x² + 3x - 2x - 6 - x² - 5x + 3x + 15 = 0

⇔ (x² - x²) + (3x - 2x - 5x + 3x) + (15 - 6)

⇔ -x + 9 = 0

⇔ x= - 9

Vậy x = -9

b, (3x + 2)(x + 4) – (3x – 1)(x – 5) = 0

⇔ 3x.(x + 4) + 2(x + 4) – 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0

⇔ 3x.x + 3x.4 + 2.x + 2.4 – 3x.x + 3x.5 + x – 5 = 0

⇔ 3x² + 12x + 2x + 8 - 3x² + 15x + x – 5 = 0

⇔ (3x² - 3x²) + (12x + 2x + 15x + x) + (8 – 5) = 0

⇔ 30x + 3 = 0

⇔ 30x = -3

⇔ x =

Vậy x =

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau:

a. Phương pháp giải:

Ta chọn một trong hai vế của biểu thức để thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, sau đó rút gọn đa thức tích để thu được kết quả như vế còn lại.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh

a, (x – y – z)² = x² + y² + z² - 2xy + 2yz - 2zx

b, (x + y – z)² = x² + y² + z² + 2xy - 2yz - 2zx

Lời giải

a, Xét VT = (x – y – z)²

= (x – y – z).(x – y – z)

= x(x – y – z) – y(x – y – z) –z(x – y – z)

= x² - xy – xz – yx + y² + yz – zx + zy + z²

= (x² + y² + z²) – (xy +yx) – (xz + zx) + (yz + zy)

= (x² + y² + z²) – 2xy – 2xz + 2yz

= (x² + y² + z²) – 2xy + 2yz – 2xz = VP (đpcm)

Vậy (x – y – z)² = x² + y² + z² - 2xy + 2yz - 2zx

b, Xét VT = (x + y – z)²

= (x + y – z).(x + y – z)

= x(x – y – z) + y(x – y – z) –z(x – y – z)

= x² + xy – xz + yx - y² - yz – zx + zy + z²

= (x² - y² + z²) + (xy + yx) – (xz + zx) - (yz - zy)

= (x² - y² + z²) + 2xy – 2xz - 2yz

= (x² + y² + z²) + 2xy - 2yz – 2xz = VP (đpcm)

Vậy (x + y – z)² = x² + y² + z² + 2xy - 2yz - 2zx

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, -2xy².(x³y - 2x²y² + 5xy³)

b, (-2x).(x³ - 3x² - x + 1)

c, 3x²(2x³ - x + 5)

d,

Hướng dẫn giải:

a, -2x⁴y³ + 4x³y⁴ - 10x²y⁵

b, -2x⁴ + 6x³ + 2x² - 2x

c, 6x⁵ - 3x³ + 15x²

d,

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a, (3x²y - 6xy + 9x).

b, (4xy + 3y - 5x).x²y

c, 3x².(2y - 1) - [2x².(5y - 3) - 2x(x - 1)]

d, 25x - 4(3x - 1) + 7x(5 - 2x²)

Hướng dẫn giải:

a, -4x³y² + 8x²y² - 12x²y

b, 4x³y² + 3x²y² - 5x³y

c, -4x²y + 5x² - 2x

d, -14x³ + 48x + 1

Bài 3: Thực hiện phép tính rồi tính giá trị của các biểu thức sau, biết:

a) A = 7x(x - 5) + 3(x - 2) với x = 0

b) B = 4x(2x - 3) - 5x(x - 2) với x = 2 .

c) C = a²(a + b) - b(a² - b²) + 2013, với a = 1, b = -1

d) D = m(m - n + 1) - n(n +1 - m), với

Hướng dẫn giải:

a, A = -6

b, B = 8

c, C = 2013

d, D = 0

Bài 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:

a) A = x(2x + 1) - x²(x + 2) + (x³ -x + 3)

b) B = x(x³ + 2x² - 3x + 2) - (x² + 2x)x² + 3x(x - 1) + x - 12

c) C = 3xy²(4x² - 2y) - 6y(2x³y + 1) + 6(xy³ + y - 3)

d) D = 3x(x - 5y) + (y - 5x)(-3y) - 1 - 3(x² - y²)

Hướng dẫn giải:

a, A = 3

b, B = -12

c, C = -18

d, D = - 1

Bài 5: Tìm x, biết:

a, x(x² + 2) + 2x = 4

b, (2x)²(x - 1) + x(x² + 4x) = 40

c, 3x(x – 2) – 3(x² - 3) = 8

Hướng dẫn giải:

a, x = 1

b, x = 2

c, x =

Bài 6: Thực hiện phép tính:

a, (x + 3)(x – 4)

b, (x – 4)(x² + 4x + 16 )

c, (xy² - 1)(x²y + 5)

d, 4.(4x² + 1)

Hướng dẫn giải:

a, x² - x - 12

b, x³ - 64

c, x³y² - 5xy² - x²y - 5

d, 16x⁴ - 1

Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a, A = (3x +2)(9x² - 6x + 4) tại x =

b) B = (x + 1)(x⁷ - x⁶ + x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1) tại x = 2

c) C = (x + 1)(x⁶ - x⁵ + x⁴ - x³ + x² - x + 1) tại x = 2

d) D = 2x(10x² - 5x - 2) - 5x(4x² - 2x - 1) tại x = -5

Hướng dẫn giải:

a, A = 9

b, B = 255

c, C = 129

d, D = -5

Bài 8: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) A = (5x – 2)(x + 1) – (x – 3)(5x + 1) – 17(x + 3)

b) B = (6x – 5)(x + 8) – (3x – 1)(2x + 3) – 9.(4x – 3)

c) C = x(2x + 1) - x²(x + 2) + x³ - x + 3

d) D = (x + 1)(x² - x + 1) - (x - 1)(x² + x + 1)

Hướng dẫn giải

a, A = -50

b) B = -10

c) C = 3

d) D = 2

Bài 9: Tìm x, biết:

a) (x² - 4x + 16)(x + 4) – x(x + 1)(x + 2) + 3x² = 0

b) (8x + 2)(1 – 3x) + (6x – 1)(4x – 10) = -50

c, 3.(1 – 4x)(x – 1)+ 4(3x + 2)(x + 3) = 38

d) 5.(2x + 3)(x + 2) – 2(5x – 4)(x – 1) = 75

Hướng dẫn giải:

a, x = 32

b, x = 1

c, x =

d, x = 1

Bài 10: Chứng minh:

a, (x + 2)(x – 2)(x² + 4) = x² - 16

b, (x² - xy + y²)(x + y) = x³ + y³

Hướng dẫn giải:

a, (x + 2)(x – 2)(x² + 4) = x² - 16

Ta có: VT = (x + 2)(x – 2)(x² + 4)

= (x² - 2x + 2x - 4)(x² + 4)

= (x² - 4)(x² + 4)

= x⁴ - 4x² + 4x² - 16

= x⁴ - 16 = VP (đpcm)

b, (x² - xy + y²)(x + y) = x³ + y³

Ta có:

VT = (x² - xy + y²)(x + y)

= x³ + x²y - x²y - xy² + xy² + y³

= x³ + y³ = VP (đpcm)

Bài 11: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.

Hướng dẫn giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: x, x + 1, x + 2 (x ∈ N ).

Ta có tích của hai số đầu là x.(x + 1)

Tích của hai số sau là: (x + 1)(x + 2)

Vì tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52 nên ta có:

(x + 1)(x + 2) – x(x + 1) = 52

=> x² + x + 2x + 2 - x² = 52

⇔ 2x = 52

⇔ x = 26

Vậy ba số tự nhiên liên tiếp là: 26, 27, 28.

Bài 12: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5

Hướng dẫn giải:

Ta có a chia cho 5 dư 1 nên ta đặt a = 5x + 1 (x ∈ N)

Ta lại có b chia cho 5 dư 4 nên ta đặt b = 5y + 4 ( y ∈ N)

Ta có:

ab + 1 = (5x +1)(5y + 4) + 1

= 25xy + 20x + 5y + 4 + 1

= 25xy + 20x + 5y + 5

= 5.(5xy +4x + y + 1) 5 (đpcm)

Bài 13: Chứng minh 2n²(n + 1) - 2n(n² + n - 3) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

2n²(n + 1) - 2n(n² + n - 3)

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n 6 (đpcm)

Bài 14: Chứng minh n(3 – 2n) – (n – 1)(1 + 4n) – 1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Hướng dẫn giải: chứng minh tương tự bài 13.