Cách dựng hình thang bằng thước và compa hay, chi tiết
Cách dựng hình thang bằng thước và compa hay, chi tiết
Tài liệu Cách dựng hình thang bằng thước và compa hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải.
- Muốn dựng một hình thang cần biết bốn yếu tố (trong đó số góc không
được quá hai).
- Muốn dựng một hình thang cân cần biết ba yếu tố (trong đó số góc không
được quá một).
- Khi phân tích ta tìm ra tam giác biết ba yếu tố, dùng bài toán cơ bản để dựng trước nhằm xác định ba đỉnh của hình thang. Đỉnh thứ tư của hình thang phải thoả mãn hai điều kiện là nằm trên hai đường. Dùng phép dựng cơ bản xác định giao điểm của hai đường (nếu có) để dựng nốt đỉnh này.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Dựng hình thang ABCD (AB//CD). Biết AB = 2cm, CD = 4cm, AD = 2,5cm và AC = 3cm.
Giải
1. Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu của đề bài. Ta thấy:
ΔACD dựng được ngay vì biết ba cạnh.
Ta còn phải xác định đỉnh B.
Đỉnh B phải thoả mãn hai điều kiện nằm trên Ax//CD và cách A một khoảng 2cm. Từ đó suy ra cách dựng.
2. Cách dựng:
Dựng ΔACD biết AC = 3cm, CD = 4cm, DA = 2,5cm.
- Dựng đoạn thẳng CD = 4cm.
- Dựng cung tròn tâm C bán kính 3cm, cung tròn tâm D bán kính 2,5 cm. Hai cung tròn cắt nhau tại A.
Dựng Ax//CD, dựng cung tròn tâm A bán kính 2cm cắt Ax ở B.
Nối BC ta được hình thang ABCD.
3. Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB//CD .
Hình thang ABCD có AB = 2cm, CD = 4cm, DA = 2,5cm và AC = 3cm nên thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 2. Dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD = 3cm, đường chéo AC = 4cm, 
Giải
1. Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình thang cân ABCD thoả mãn yêu cầu của đề bài.
Ta thấy:
ΔACD dựng được ngay nhờ phép dựng cơ bản.
Ta còn phải xác định đỉnh B. Đỉnh B phải thoả mãn hai điều kiện, nằm trên Ay//DC và cách D một khoảng bằng 4cm. Từ đó suy ra cách dựng.
2. Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng DC = 3cm.
Dựng 
.
Dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt tia Dx ở A.
Dựng tia Ay//DC . Dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt tia Ay ở B.
Nối BC ta được hình thang cân cần dựng.
3. Chứng minh:
Thật vậy, tứ giác ABCD có AB//CD và AC = BD = 4cm nên là hình thang cân. Hình thang cân này có DC = 3cm, 
thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 3. Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, 
Giải
1. Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có 2 cạnh bên song song nên
AB = EC = 2cm do đó DE = 2cm
Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh.
Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4cm.
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.
B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE.
2. Cách dựng:
Dựng biết DE = 2cm, 
.
Dựng tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4cm.
Dựng tia Ax//CD , Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.
Dựng tia Cy//AE , Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A.
Cy cắt Ax tại B. Nối các điểm ta được hình thang ABCD cần dựng.
3. Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB//CD .
CD = CE + ED ⇒ CE = CD - ED = 4 - 2 = 2 (cm) .
Hình thang ABCE có hai cạnh bên BC//AE ⇒AB=CE=2(cm) .
Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, 
.
Giải
1. Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa điều kiện bài toán, ta thấy ΔACD xác định được vì biết CD = 3cm, 
, AC = 4cm
Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn 2 điều kiện:
- Nằm trên tia Ay//CD .
- B cách D một khoảng bằng 4cm.
2. Cách dựng:
Dựng đoạn CD = 3cm.
Dựng góc CDx bằng 700 .
Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.
Dựng tia Ay//CD .
Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B.
Nối BC ta có hình thang cân ABCD cần dựng.
3. Chứng minh:
Thật vậy theo cách dựng, ta có AB//CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm , 
, AC = 4cm.
Vậy ABCD là hình thang cân.
Ví dụ 5. Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD), biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm.
Giải
1. Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2cm và HD = 1cm, 
và đáy AB < CD. Điểm H nằm giữa D và C.
Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H một khoảng bằng 3cm
Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:
B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH.
B cách A một khoảng bằng 2cm
2. Cách dựng:
Dựng ΔAHD biết 
, AH = 2cm, HD = 1cm
Dựng tia đối tia HD
Dựng điểm C sao cho HC = 3cm
Dựng tia Ax//DH , Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H.
Dựng điểm B sao cho AB = 2cm. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.
3. Chứng minh:
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB//CD .
Kẻ 
. Tứ giác ABKH là hình thang có 2 cạnh bên song song nên: BK = AH và KH = AB
Suy ra: KC = HC - KH = HC - AB = 3 - 2 = 1 (cm)
Suy ra:
Vậy ABCD là hình thang cân.
