Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết
Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết
Tài liệu Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
Sử dụng một trong hai cách sau:
- Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.
- Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác AEDF là hình vuông.
Theo hình vẽ thì 
. Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật AEDF có AD là đường phân giác của góc A nên nó là hình vuông.
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?
Giải
Đặt AD = a thì AB = 2a
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:
AE = EB = CF = FD = a.
a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a
⇒ AE = EF = DF = AD = a
Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Hình thoi ADFE có 
nên nó là hình vuông.
b) Tứ giác MENF là hình vuông
Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:
Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc 
nên nó là hình vuông.
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Giải
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất).
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:
và MB = NC = PD = QA = a – x, nên bốn tam giác vuông MBN, NCP, PDQ, QAM bằng nhau theo trường hợp (c – g – c) suy ra bốn cạnh tương ứng của các tam giác đó bằng nhau là MN = NP = PQ = QM.
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:
Lại có góc BNC là góc bẹt hay
Từ (1) và (2) suy ra 
Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
nên EFGH là hình vuông.Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
(tính chất).
nên ta có 
ta có OD = OB; 
(đối đỉnh); 
(so le trong) nên 
(g – c - g) suy ra OE = OG (1)
(g – c – g) ⇒ OF = OH (2)
có:
nên EFGH là hình vuông.Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ 
tại E, tia ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA. Khi đó MNPQ là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
(do NP là đường trung bình của tam giác FDC nên NP//DC)
(Tam giác ABC vuông cân tại A) nên ΔFEC vuông cân tại E 
vuông cân tại B suy ra BD = BF
