Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâm

Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâm

Tài liệu Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâm Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng tâm.

1. Định nghĩa

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Quy ước : Điểm đối xứng với O qua điểm O chính là điểm O.

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua điểm O trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O. Biết chu vi của tam giác A’B’C’ là 32 cm. Chu vi của tam giác ABC là

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O nên

ΔABC= ΔA'B'C' ⇒AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’

Nên AB + AC + BC = A’B’ +A’C’ + B’C’ ⇒P_ABC=P_A'B'C' .

Do đó chu vi tam giác ABC là P_ABC = 32 cm .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, trong đó AB = 12cm, BC = 15cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh AC. Chu vi của tứ giác tạo thành là

Hướng dẫn giải

Lấy M là trung điểm AC khi đó A, C đối xứng nhau qua M. Vẽ B’ đối xứng với B qua M.

Khi đó tam giác B’AC đối xứng với tam giác BCA qua M. Tứ giác tạo thành là ABCB’.

Vì tam giác B’AC đối xứng với tam giác BCA qua M nên:

AB’ = BC =15 cm; B’C = AB = 12 cm.

Chu vi tứ giác ABCB’ là AB + BC + CB’ + AB’ = 12 + 15 + 12 + 15 = 54 cm.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH, trong đó BC = 18 cm, AH = 3cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh BC. Diện tích của tam giác tạo thành là

Hướng dẫn giải

Gọi tam giác A’CB đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm M của cạnh BC. Khi đó ΔABC= ΔA'BC

Nên S_ABC=S_A'BC.

Ta có

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Điền từ thích hợp vào chỗ trống: Hai điểm M, N gọi là đối xứng nhau qua điểm I nếu…

A. I là trung điểm của đoạn MN.

B. I là điểm nằm ngoài đoạn MM.

C. I là điểm cách M một khoảng bằng 1/2 .

D. I là điểm chia đoạn MN thành tỉ số 2:3

Câu 2. Tam giác ABC đối xứng với tam giác A’B’C’ qua O. Biết chu vi của tam giác A’B’C’ là 40 cm. Chu vi của tam giác ABC là:

A. 32 dm.

B. 40 cm.

C. 20 dm.

D. 80 dm.

Câu 3. Cho tam giác ABC, trong đó AB = 8cm, BC = 11cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh AC. Chu vi của tứ giác tạo thành là:

A. 19cm.

B. 38cm.

C. 76cm.

D. 40cm.

Câu 4. Cho tam giác ABC, đường cao AH, trong đó BC = 30 cm, AH = 18 cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trung điểm của cạnh BC. Diện tích của tam giác tạo thành là:

A. 270 cm²

B. 540 cm²

C. 280 cm²

D. 360 cm²

Câu 5. Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Tứ giác MNCB là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình thang cân

C. Hình thang vuông

D. Cả A, B, C đều sai