Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
Tài liệu Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương.
I. Lý thuyết:
1. Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
3. Hiệu hai bình phương
A2 - B2 = (A – B)(A + B)
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Thực hiện phép tính
a. Phương pháp giải:
Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức
b, Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, (x - 2)2
= x2 - 2.x.2 + 22
= x2 - 4x + 4
b, (2x + 1)2
= (2x)2 + 2.2x.1 + 12
= 4x2 + 4x + 1
c, (3x – 1)(3x + 1)
= 3x2 - 12
= 9x2 - 1
Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu:
a, 4x2 + 4x + 1
b, x2 - 8x + 16
Lời giải
a, 4x2 + 4x + 1
= (2x)2 + 2.2x.1 + 12
= (2x + 1)2
b, x2 - 8x + 16
= x2 - 2.x.4 + 42
= (x - 4)2
2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức
a. Phương pháp giải:
Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.
b. Ví dụ minh họa:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a, x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
Xét VP = (x + y)2 - 2xy
= x2 + 2xy + y2 - 2xy
= x2 + y2 = VT (đpcm)
b, (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
Xét VP = (a + b)2 - 4ab
= a2 + 2ab + b2 - 4ab
= a2 - 2ab + b2
= (a - b)2 = VT (đpcm)
c, 4x2 + 1 = (2x - 1)2 + 4x
Xét VP = (2x - 1)2 + 4x
= (2x)2 - 2.2x.1 + 12 + 4x
= 4x2 - 4x + 1 + 4x
= 4x2 + 1 = VT (đpcm)
3. Dạng 3: Tính nhanh
a. Phương pháp giải:
Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên
b. Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 222 = (20 + 2)2
= 202 + 2.20.2 + 22
= 400 +80 + 4
= 484
b, 992 = (100 - 1)2
= 1002 - 2.100.1 + 12
= 10000 – 200 + 1
= 9801
c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)
= 202 - 12
= 400 – 1
= 399
4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:
A2 ≥ 0 và -A2 ≤ 0
b. Ví dụ minh họa:
a, Chứng minh 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x
Lời giải
Xét: 9x2 - 6x + 3 = 9x2 - 6x + 2 + 1
= (3x)2 - 2.3x.1 + 12 + 2
= (3x + 1)2 + 2
Ta có: (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x
=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x
Vậy 9x2 - 6x + 3 luôn dương với mọi x
b, Chứng minh: -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x
Xét: -x2 - 4x - 7 = -x2 - 4x - 4 - 3
= -(x2 + 4x + 4) - 3
= -(x + 2)2 - 3
Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x
=> -(x + 2)2 ≤ 0 với mọi x
=> -(x + 2)2 - 3 ≤ -3 < 0 với mọi x
Vậy -x2 - 4x - 7 luôn âm với mọi x.
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 3x + 5
Ta có:
M = x2 - 3x + 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
đạt được khi 
B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
I. Lý thuyết:
1. Lập phương của một tổng:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
2. Lập phương của một hiệu:
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:
a. Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, (2x - 1)3
= (2x)3 - 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 - 13
= 8x3 - 12x2 + 6x - 1
b, (x + 4)3
= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= x3 + 12x2 + 48x + 64
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
A = (3x- 1)3 - 4x(x - 2) + (2x - 1)2
= (3x)3 - 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 - 13 - 4x2 + 8x + 4x2 - 4x + 1
= 27x3 - 27x2 + 9x – 1 + 4x + 1
= 27x3 - 27x2 + 13x
B = (x + 1)3 - 2x2(x - 2) + x3
= x3 + 3x2 + 3x + 1 - 2x3 + 4x2 + x3
= 7x2 + 3x + 1
Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu:
a, x3 + 12x2 + 48x + 64
b, 
+ 8xy2 - 8y3
Lời giải
a, x3 + 12x2 + 48x + 64
= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= (x + 4)3
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48
b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 1001
Lời giải
a, A = x3 + 6x2 + 12x + 8
Ta có: A = x3 + 6x2 + 12x + 8
= x3 + 3x2.2 + 3.x22 + 23
= (x + 2)3
Thay x = 48 vào biểu thức A ta được:
A = (48 + 2)3 = 503 = 125000
b, B = x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101
Ta có B = x3 - 3x2 + 3x - 1
= x3 - 3x2.1 + 3.x.12 - 13
= (x – 1)3
Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được:
B = (101 – 1)3 = 1003 = 1000000
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh:
a. Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tính nhanh
b. Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 1993
= (200 - 1)3
= 2003 - 3.2002.1 + 3.200.12 - 13
= 8000000 – 120000 + 600 – 1
= 7880599.
b, 1013
= (100 + 1)3
= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13
= 1000000 + 30000 + 300 + 1
= 1030301
C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương:
I. Lý thuyết:
1. Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
2. Hiệu hai lập phương:
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức:
a. Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, x3 + 64
= x3 + 43
= (x + 4)(x2 + 4x + 42)
= (x + 4)(x2 + 4x + 16)
b, 8x3 - 27
= (2x)3 – 33
= (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]
= (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a, (x - 2)3 + (x + 1)3
= (x - 2 + x + 1)[(x - 2)2 - (x - 2)(x + 1) + (x + 1)2]
= (2x – 1)[x2 - 4x + 4 - (x2 - x - 2) + x2 + 2x + 1]
= (2x – 1)(x2 - x + 7 )
= 2x3 - 2x2 + 14x - x2 + x - 7
= 2x3 - 3x2 + 15x - 7
b, (3x + 4)(9x2 - 12x + 16)
= (3x + 4)[(3x)2 - 3.4x + 42]
= (3x)3 + 43
= 27x3 + 64
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh
a, Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính
Chú ý thêm:
A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B)
A3 - B3 = (A - B)3 - 3AB(A - B)
b, Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 203 + 1
= (20 + 1)(202 - 20 + 1 )
= 21.(400 - 20 + 1)
=8400 - 420 + 21
= 7980 + 21
= 8001
b, 523 - 8
= 523 - 23
= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2)
= 503 + 6.52.50
= 125000 + 300.52
= 125000 + 15600
= 140600
c, 193
= (20– 1)3
= 203 - 13 - 3.20.1(20 – 1)
= 8000 – 1 – 60.19
= 8000 – 1 – 1140
= 6859
III. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, (x - 4)2
b, (3x + 2)2
c, (2x - 3)2
d, (x - 4)(x + 4)
Hướng dẫn giải:
a, (x - 4)2
= x2 - 4x + 16
b, 9x2 + 12x + 4
c, 4x2 - 12x + 9
d, x2 - 16
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a, (x - 3)3
b, (1 + 2x)3
c, 
d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 )
Hướng dẫn giải:
a, x3 - 9x2 + 27x - 27
b, 1 + 6x + 12x2 + 8x3
c, 
d, x3 - 27y3
Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:
a, 9x2 - 12 + 4
b, 
c, 4x2y2 - 12xy2 + 9
d, (x + y)2 - 4(x + y) + 4
Hướng dẫn giải:
a, (3x - 2)2
b, 
c, (2xy2 - 3)2
d, [(x + y) - 2]2
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a, 
b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
Hướng dẫn giải:
= ab = VP (đpcm)
b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
Xét VP = (x + y)2 + (x - y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
= 2(x2 + y2) = VT (đpcm)
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a, A = (2x - 1)2 - 2(2x - 3)2 + 4
b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 - 2y) + (2y - 1)2
c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x2 + 2xy)y2 + y4
d, D = (x - 1)3 + 3x(x - 1)2 + 3x2(x -1) + x3
Hướng dẫn giải:
a, A = -4x2 + 20x - 13
b, B = [(3x + 2) + (1 - 2y)]2
= (3x - 2y + 3)2
c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2
= (x2 + 2xy + y2)2
= [(x + y)2]2
= (x + y)4
d, D = [(x - 1) + x]3
= (2x – 1)3
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a, N = (2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2)
b, P = (x - y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 - xy + y2)
c, Q = (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) - x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3
Hướng dẫn giải:
a, N = [(2x)3 + (3y)3]
= (8x3 + 27y3)
b, P = [(x3 - y3) - (x3 + y3)]
= -2y3
c, Q = [(x2)3 - (2y)3] - x3(x3 - y3) + 8y3
= x6 - 8y3 - x6 + x3y3 + 8y3
= x3y3
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a, A = 25x2 - 10xy2 + y4 tại x = 5, y = 4
b, B = (x + 3)2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4) với x = -
c, C = 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3 tại x = 4, y = 6
d, D = 
tại x = 206, y = 1
e, E = 27x3z6 - 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3 tại x = 25, y = 150, z = 2
f, F = (6x + 2)(9x2 - 3x + 1) – (x + 1)(x2 - x + 1) tại x = 
Hướng dẫn giải:
a, A = 81
b, B = 11
c, C = 0
d, D = 997552
e, E = 0
f, F = 
Bài 8: Tính nhanh:
a, 292
b, 62.58
c, 1022
d, 1013
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29
g, 183 + 23
h, 233 - 27
Hướng dẫn giải:
a, 292
= (30 – 1)2
= 841
b, 62.58
= (60 + 2)(60 – 2)
= 602 - 22
= 3596
c, 1022
= (100 + 2)2
= 10404
d, 1013
= (100 + 1)3
= 1030301
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
= (91 + 9)3
= 1003
= 1000000
f, 183 - 3.182.8 + 3.18.82 - 29
= (18 – 8)3
= 103
= 1000
g, 183 + 23
= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2)
= 203 - 6.18.20
= 5840
h, 233 - 27
= 233 - 33
= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3)
= 203 + 9.23.20
= 12140
Bài 9: Tính giá trị biểu thức:
a, A = 2(x3 + y3) - 3(x2 + y2) biết x + y = 1
b, B = x3 + y3 + 3xy biết x + y = 1
c, C = 8x3 - 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5
Hướng dẫn giải:
a, A = -1
b, B = 1
C = 485
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a, A =3(x – 1)2 - (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 - (5 – 20x)
b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 - 3x + 9) – 1
Hướng dẫn giải:
a, A = - 30
b, B = 27
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a, A = x2 + x - 2
b, B = x2 + x - 3
c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3
d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26
Hướng dẫn giải:
a, A = x2 + x - 2
b, B = x2 + x - 3
c, C = x2 + y2 - 3x + 2y + 3
d, D = x2 + 10y2 - 6xy - 10y + 26
Ta có: D = (x2 - 6xy + 9y2) + (y2 - 10y + 25) + 1
= (x - 3y)2 + (y - 5)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
=> Dmin = 1 khi x =15, y = 5
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a, A = 12x – 4x2 + 3
b, B = 6x - x2 + 3
c, C = 12x – 8y – 4x2 - y2 + 1
d, D = 2x – 6y - x2 - y2 - 2
Hướng dẫn giải:
a, A = 12x – 4x2 + 3
Ta có: A = -(2x - 3)2 + 12 ≤ 12 với mọi x
=> Amax = 12 khi x = 
b, Bmax = 12 khi x = 3
c, Cmax = 26 khi x = 
và y = - 4
d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = -3
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hướng dẫn giải: Hướng dẫn:
Đặt a + b = A, B = c
Ta có: VT = (a + b + c)3
= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
Thay vào ta được:
(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)
