Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm
Tài liệu Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
+ Giả sử đa thức có nghiệm là x = a.
Ta dùng phương pháp thêm ( bớt) , tách hạng tử và nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung là x – a.
+ Chú ý:
• A.B + A.C = A.(B + C)
• Đa thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm là x1; x2.
Khi đó: ax2 + bx + c = a.(x = x1).(x - x2)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x2 + bx + c thành nhân tử?
A. 3(x+ 1). (x – 9)
B. 3(x + 1). (x – 3)
C. 3(x – 1).(x + 9)
D. 3(x – 1). (x+ 3)
Lời giải
+ Nhẩm nghiệm: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích như sau:
3x2 + 6x - 9 = (3x2 - 3) + (6x - 6)
= 3(x + 1).(x - 1) + 6(x - 1)
= 3(x - 1).[(x + 1) + 2] = 3(x - 1).(x + 3)
Chọn D.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử?
A. (x - 1).(x2 + x + 2)
B. (x + 1).(x2 - x + 2)
C. (1 - x).(x2 + x - 2)
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 làm nghiệm. Do đó, ta sẽ nhóm thích hợp để xuất hiện nhân tử chung x – 1 như sau:
+ x3 + x - 2 = (x3 - 1) + (x - 1)
= (x - 1).(x2 + x + 1) + 1.(x - 1)
= (x - 1).(x2 + x + 1 + 1) = (x - 1).(x2 + x + 2)
Chọn A.
Ví dụ 3. Phân tích đa thức x4 - 3x3 + x2 - 5 thành nhân tử?
A. (x - 1).(x3 + 4x2 + 5x - 5)
B. (x + 1).(x3 - 4x2 + 5x - 5)
C. (x + 1).(x3 - 4x2 - 5x + 5)
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhân x = -1 là nghiệm.
Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x + 1 là nhân tử chung như sau:
+ Ta có:
x4 - 3x3 + x2 - 5 = (x4 + 2x3 + x2) - (5x3 + 5)
= x2.(x2 + 2x + 1)-5(x3 + 1)
= x2.(x + 1)2 - 5(x + 1).(x2 - x + 1)
= (x + 1).[x2.(x + 1) - 5(x2 - x + 1)]
= (x + 1).(x3 + x2 - 5x2 + 5x - 5)
= (x + 1).(x3 - 4x2 + 5x - 5)
Chọn B.
Ví dụ 4. Phân tích đa thức -7x2 + 12x + 4 thành nhân tử
A. ( 2x + 2). (-7x -1)
B. ( - 7x + 3).(x+ 2)
C.( x- 2).(- 7x + 2)
D. ( - 7x – 2). (x- 2)
Lời giải
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 là nghiệm. Chúng ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x – 2 như sau:
-7x2 + 12x + 4 = -7x2 + 14x - 2x + 4
= -7x.(x - 2) - 2(x - 2)
= (-7x - 2).(x - 2)
Chọn D.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phân tích đa thức -8x2 + 24x - 16 thành nhân tử?
A. ( - 8x + 16). (x- 1)
B. ( 8x – 1).( x + 16)
C. ( 4x – 1). (- 2x + 16)
D. ( 2x – 2).(- 4x + 8)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung x- 1 như sau:
-8x2 + 24x - 16 = (-8x2 + 8x) + (16x - 16)
= - 8x(x - 1) + 16.(x - 1) = (-8x + 16).(x - 1)
Chọn A
Câu 2. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1thành nhân tử?
A. (x- 2). ( 20x – 3)
B. ( x- 2).( 20x + 30).
C. (x+ 2). ( 20x + 3)
D. (2x + 4). (10x – 15)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 2 như sau:
20x2 - 10x - 60 = 20x2 - 80 - 10x + 20
= (20x2 - 80) - (10x - 20) = 20.(x2 - 4) - 10(x - 2)
= 20.(x + 2).(x - 2) - 10.(x - 2)
= (x - 2).[20(x + 2) - 10] = (x - 2).(20x + 40 - 10)
= (x - 2).(20x + 30)
Chọn B.
Câu 3. Phân tích đa thức -8x3 + 10x2 + 4x - 6 thành nhân tử?
A. (x + 1)2.(8x - 6)
B. (1 - x)2.(-8x + 6)
C. (x - 1)2.(-8x - 6)
D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 làm nhân tử chung như sau:
-8x3 + 10x2 + 4x - 6
= -8x3 + 8x2 + 2x2 - 2x + 6x - 6
= (x - 1).(-8x2 + 2x + 6)
= (x - 1).[(-8x2 + 8x) - (6x - 6)]
= (x - 1).[-8x.(x - 1) - 6(x - 1)]
= (x - 1).(x - 1).(-8x - 6)
= (x - 1)2.(-8x - 6)
Chọn C.
Câu 4. Phân tích đa thức -x5 + 8x2 + 2x + 9 thành nhân tử
A. (1 - x).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9)
B. (x + 1).(-x4 - x3 + x2 + 7x + 9)
C. (1 - x).(-x4 - x3 - x2 - 7x + 9)
D. (x - 1).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 như sau:
-x5 + 8x2 + 2x - 9
= (-x5 + x2) + (7x2 - 7) + (2x - 2)
= -x2.(x3 - 1) + 7(x2 - 1) + 2.(x - 1)
= -x2.(x - 1).(x2 + x + 1) + 7(x + 1).(x - 1) + 2(x - 1)
= (x - 1).[-x2.(x2 + x + 1) + 7(x + 1) + 2]
= (x - 1).(x4 -x3 - x2 + 7x + 7 + 2)
= (x - 1).(-x4 - x3 - x2 + 7x + 9)
Chọn D
Câu 5. Phân tích đa thức 4x4 + x3 - 4x - 1 thành nhân tử
A. (4x + 1).(x - 1).(x2 + x + 1)
B. (2x + 2).(x - 1).(x2 + x - 1)
C. (4x - 1).(x + 1).(x2 + x + 1)
D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 1 làm nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x – 1 như sau:
4x4 + x3 - 4x - 1 = (4x4 - 4x) + (x3 - 1)
= 4x(x3 - 1) + (x3 - 1)
= (4x + 1).(x3 - 1)
= (4x + 1).(x - 1).(x2 + x + 1)
Chọn A.
Câu 6. Phân tích đa thức 6x3 - 4x2 - 3x + 7 thành nhân tử
A. (x + 1).(6x2 + 8x + 7)
B. (x - 1).(6x2 + 9x + 7)
C. (x + 1).(6x2 - 10x + 7)
D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= -1 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x + 1 như sau:
6x3 - 4x2 - 3x + 7
= (6x3 + 6) - (4x2 + 4x) + (x + 1)
= 6(x3 + 1) - 4x(x + 1) + 1.(x + 1)
= 6(x + 1).(x2 - x + 1) - 4x.(x + 1) + 1.(x + 1)
= (x + 1).[6.(x2 - x + 1) - 4x + 1]
= (x + 1).(6x2 - 6x + 6 - 4x + 1)
= (x + 1).(6x2 - 10x + 7)
Chọn C.
Câu 7. Phân tích đa thức -x3 + 2x2 + 9x - 18 thành nhân tử
A. (3+ x). (3- x). ( 4- x)
B. (3 + x). (3- x). (x- 2)
C. (x + 2). ( x- 2). ( 6 -x)
D. (2 – x). ( x +1). ( x – 9)
-x3 + 2x2 + 9x - 18
= (-x3 + 2x2) + (9x - 18)
= -x2.(x - 2) + 9(x - 2)
= (-x2 + 9).(x - 2)
= (9 - x2).(x - 2)
= (3 + x).(3 - x).(x - 2)
Chọn B.
Câu 8. Phân tích đa thức -10x2 + 5x + 75 thành nhân tử
A.( -10x – 25). (x – 3)
B. (5x + 5).(-2x + 15)
C.( - 5x + 15).( 2x + 6)
D. ( -10x + 20).( x + 3)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 5 là nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x - 5:
-10x2 + 5x + 75
= (-10x2 + 90) + (5x - 15)
= -10.(x2 - 9) + 5.(x - 3)
= -10.(x + 3).(x - 3) + 5.(x - 3)
= (x - 3).[-10.(x + 3) + 5]
= (x - 3).(-10x - 25)
Chọn A.
Câu 9. Phân tích đa thức 17x2 - 13x - 94 thành nhân tử
A. (x+ 2). ( 17x – 47)
B. (x + 5). ( 17x – 2)
C. (17x – 1).(x + 94)
D. Đáp án khác
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = - 2 làm nghiệm ta nhóm để xuất hiện x + 2:
17x2 - 13x - 94
= 17x2 - 68 - 13x - 26
= 17.(x2 - 4) - 13.(x + 2)
= 17.(x + 2).(x - 2) - 13.(x + 2)
= (x + 2).[17(x - 2) - 13] = (x + 2).(17x - 47)
Chọn A.
Câu 10. Phân tích đa thức -2x3 + 8x - 30 thành nhân tử
A. (x + 3). (- x + 1).(2x + 10)
B. (x + 3).(-2x2 + 6x - 10)
C. (x+ 3). ( 2x + 2). (x – 5)
D. (-x + 3).(2x2 - 6x - 10)
+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = -3 là nghiệm. Ta làm xuất hiện nhân tử chung x + 3 như sau:
-2x3 + 8x - 30 = -2x3 + 8x + 24 - 54
= (-2x3 - 54) + (8x + 24) = -2(x3 + 27) + 8.(x + 3)
= -2.(x + 3).(x2 - 3x + 9) + 8.(x + 3)
= (x + 3).[-2(x2 - 3x + 9) + 8]
= (x + 3).(-2x2 + 6x - 18 + 8)
= (x + 3).(-2x2 + 6x - 10)
Chọn B.
