Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi

Tài liệu Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

1. Sử dụng định nghĩa hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇔ AB = BC = CD = DA.

2. Áp dụng các tính chất của hình thoi.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải

Ta phải chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. Từ giả thiết ta có MN, NP, PQ, QM thứ tự là các đường trung bình của bốn tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Áp dụng định lí đường trung bình vào bốn tam giác trên và tính chất về đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta được:

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nó nên là hình thoi.

Suy ra hai đường chéo của hình thoi MNPQ vuông góc với nhau hay .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ.

Giải

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình).

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

Mà BD = CE (gt)

Suy ra MP = NQ = NP = QM.

Tứ giác MPNQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MPNQ ta được: .

Ví dụ 3. Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chọn câu đúng nhất.

A. IK vuông góc với MN.

B. MN là phân giác .

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Giải

Từ giả thiết ta có: KM; IM; IN; KN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA. (định nghĩa đường trung bình).

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

Mà AB = CD

Suy ra MK = KN = NI = IM.

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi KMIN ta được: ; MN là đường phân giác .

Đáp án: C.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng .

Giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

nên ΔABC vuông ở A, ΔADC vuông ở C. Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC, ACD.

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi AMCN ta được .

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, H là trung điểm của DE. Chứng minh rằng .

Giải

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên BD = CE (trong một tam giác cân, đường cao tương ứng với hai cạnh bên bằng nhau)

Tam giác BED có I là trung điểm của BE (giả thiết), H là trung điểm của ED (giả thiết)

⇒ IH là đường trung bình nên IH//BD và

Chứng minh tương tự ta cũng được MK là đường trung bình của ∆BDC nên MK//BD và

Từ (1) và (2) suy ra

⇒ IHKM là hình bình hành

Tam giác CDE có H là trung điểm của cạnh DE (giả thiết), K là trung điểm của cạnh CD (giả thiết)

⇒ HK là đường trung bình

Do BD = CE (cmt) Nên

⇒IHKM là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi IHKM ta được .