Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm hay, chi tiết

Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm hay, chi tiết

Tài liệu Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng tâm.

1. Định nghĩa

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Quy ước: Điểm đối xứng với O qua điểm O chính là điểm O.

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua điểm O trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A và F là điểm đối xứng với D qua điểm C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Giải

Vẽ các điểm E và F sao cho: A là trung điểm của DE hay DA = AE (1); C là trung điểm của DF hay DC = CF (2) thì E đối xứng với D qua A và F đối xứng với D qua C.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒AE//BC (3) và DA = BC (4)

Từ (1), (4) suy ra AE = BC. (5)

Từ (3) và (5) ta có tứ giác ACBE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ACBE, ta được:

AC//BE và AC = BE. (6)

Chứng minh tương tự, ta được tứ giác ACFB là hình bình hành nên

AC//BF và AC = BF. (7)

Từ (6), (7) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

Giải

Vẽ , vẽ hai điểm B, C sao cho H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC thì B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua Oy. Vì đối xứng với O qua Ox, Oy.

Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của đoạn BC nên B đối xứng với C qua O.

Ví dụ 3. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi H là điểm đối xứng với C qua E, K là điểm đối xứng với B qua D. Chứng minh rằng điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A.

Giải

Từ giả thiết BD, CE là các đường trung tuyến ta có D, E là trung điểm của AC, AB và giả thiết H đối xứng với C qua E, K đối xứng với B qua D ta lại có D, E lần lượt là trung điểm của BK, CH.

Do đó các tứ giác ACBH, ABCK là các hình bình hành (do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Áp dụng định nghĩa, tính chất và cạnh vào hai hình bình hành trên, ta được:

Điều này chứng tỏ A là trung điểm của HK. Vậy H đối xứng với K qua A.

Ví dụ 4. Cho ΔABC , trung tuyến BD. Gọi E đối xứng với B qua A, I đối xứng với B qua D, F đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua I.

Giải

Từ giả thiết ta có A, D, C lần lượt là trung điểm của BE, BI, BF nên AD, DC thứ tự là đường trung bình của hai tam giác BEI và BIF.

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên và giả thiết BD là trung tuyến vào tam giác ABC, ta được:

⇒E, I, F thẳng hàng và EI = IF.

Điều này chứng tỏ I là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua I.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A, E là điểm đối xứng với C qua A. Lấy các điểm I, K theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng DE, BC sao cho DI = BK. Chứng minh rằng K đối xứng với I qua A.

Giải

Xét tam giác ADE và ABC có:

+ AB = AD (vì D đối xứng với B qua A)

+ (đối đỉnh)

+ AE = AC (vì E đối xứng với C qua A)

Nên (c-g-c), suy ra

Xét tam giác ADI và ABK có:

+ AD = AB (vì D đối xứng với B qua A)

+ (cmt)

+ DI = BK (gt)

Nên mà B, A, D thẳng hàng nên K, A, I thẳng hàng.

Lại có IA = AK (do ) nên điểm K đối xứng với I qua A.