Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiết

Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiết

Tài liệu Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục.

1. Định nghĩa

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Quy ước: Nếu B∈d thì ta nói B đối xứng với B qua d.

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) D đối xứng với E qua AH.

b) ΔADC đối xứng với ΔABE qua AH.

Giải

a) Vì ΔABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH là tia phân giác của góc A.

Lại có AD = AE do giả thiết nên ΔADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

b) Vì AH là đường cao của ΔABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC suy ra B đối xứng với C qua AH, E đối xứng với D qua AH, lại có A đối xứng với A qua AH theo quy ước. Vậy ΔADC đối xứng với ΔABE qua AH.

Ví dụ 2. Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, điểm E đối xứng với H qua AC. Chứng minh rằng:

a) Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC.

b) ΔADB đối xứng với ΔΑΗΒ qua trục AB, ΔΑEC đối xứng νớι ΔAHC qua trục AC.

Giải

a) Từ giả thiết điểm D đối xứng với H qua đường thẳng AB, điểm E đối xứng với H qua AC mà A, B đối xứng với chính nó qua AB nên AD đối xứng với AH qua AB, BD đối xứng với BH qua AB.

Lại có A, C đối xứng với chính nó qua AC nên AE đối xứng với AH qua AC, CE đối xứng với CH qua AC.

b) Từ câu a), suy ra ΔABD đối xứng với ΔABH qua trục AB và ΔAEC đối xứng với ΔAHC qua trục AC.

Ví dụ 3. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua AH.

Giải

Từ giả thiết và định nghĩa ΔABC cân tại A, ta có AB = AC (1); BD = CE (2).

Trừ theo vế đẳng thức (1) cho đẳng thức (2), ta được AD = AE nên ΔADE cân tại A.

Vì ΔABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là tia phân giác của góc A.

Do ΔADE cân tại A, AH là tia phân giác của góc A nên AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng.

A. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là A.

B. Điểm đối xứng với K qua đường thẳng d là K.

C. Điểm đối xứng với A qua đường thẳng d là K.

D. Điểm đối xứng với Q qua đường thẳng d là Q.

Câu 2. Cho hình vẽ. Hãy chọn câu sai.

A. Điểm đối xứng với P qua đường thẳng QG là P’.

B. Điểm đối xứng với B qua đường thẳng QG là B’.

C. Điểm đối xứng với D qua đường thẳng QG là G.

D. Điểm đối xứng với G qua đường thẳng QG là G.

Câu 3. Hãy chọn câu sai.

A. Hai đoạn thẳng EB và E’B’ đối xứng nhau qua m.

B. Hai đoạn thẳng DB và D’B’ đối xứng nhau qua m.

C. Hai tam giác DEB và D’E’B’ đối xứng nhau qua m.

D. Hai đoạn thẳng DE và D’B’ đối xứng nhau qua m.

Câu 4. Cho hình vẽ, với AD = AE, AG là trung trực của DE. Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục AG (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng AD, AE)? Chọn câu đúng.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. M và N là hai điểm lưu động lần lượt trên cạnh AB và AD sao cho . Vẽ tia Cx vuông góc với CN, Cx cắt đường thẳng AB tại E. Chọn kết luận đúng nhất.

A. E là điểm đối xứng của N qua CM.

B. Tam giác CEN là tam giác cân tại C.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.