Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau

Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau

Tài liệu Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

Sử dụng định lí:

• Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
• Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ΔABC có D là trung điểm của AB, kẻ DE//BC . Chứng minh rằng AE = EC.

Giải

Do DE//BC theo giả thiết nên vẽ thêm Ax//DE thì Ax//DE//BC. (1)

Vì D là trung điểm của AB nên AD = DB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ax, DE, BC là ba đường thẳng song song cách đều nên nó chắn trên đường thẳng AC hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là AE = EC.

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.

Giải

Vì BD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên do đó ΔBCD vuông tại D, ΔCEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC, vẽ DM, EM thì DM, EM là các trung tuyến ứng với cạnh huyền của ΔCDB và ΔCEB.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, ta được:

⇒ΔMDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ thêm thì BH//MI//CK (1) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE) mà BM = MC (2) (do ta vẽ).

Từ (1) và (2) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đểu nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK (3)

Áp dụng tính chất về đường cao ứng với cạnh đáy vào tam giác cân MDE ta được

EI = ID (4).

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4), ta được: EH = DK.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC trọng tâm G. Một đường thẳng d đi qua G cắt hai cạnh AB, AC. Gọi D, E, F thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AD, BE, CF.

Giải

Gọi N là trung điểm của AG và M là giao điểm của AG với BC thì BM = MC và K, H thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ N, M đến đường thẳng d. Kết hợp với giả thiết, ta có:

AD//NK//MH//BE//CF.

Ta có BE, MH, CF là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên d hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là EH = HF. Do đó MH là đường trung bình của hình thang BEFC suy ra BE + CF = 2MH (theo định lí đường trung bình). (1)

Mặt khác AD, NK, MH cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên d ba đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là DK = KG = GH. Do đó NK là đường trung bình của tam giác AGD và ΔNKG=ΔMHG (c-g-c), suy ra AD = 2NK = 2MH.

Thay 2MH = AD vào đẳng thức (1) ta được BE + CF = AD.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi AE, BF, CG, DH là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng d. Chứng minh rằng AE + CG = BF + DH.

Giải

Do AE, BF, CG, DH cùng vuông góc với d suy ra AE//BF//CG//DH. Nên AEGC và BFHD là hai hình thang vuông. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành ABCD, ta được:

AO = OC (1).

BO = OD (2).

Vẽ thêm thì OI//AE//CG (3) và OI//BF//DH (4) (do cùng vuông góc với d). Từ (1) và (3) suy ra OI, AE, CG là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là EI = IG (5)

Từ (2) và (4) suy ra OI, BF, DH cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng cũng chắn trên đường thẳng d hai doan liên tiếp bằng nhau là FI = IH (6)

Từ (1) với (5) và (2) với (6) ta có OI là đường trung bình của hai hình thang vuông AEGC và BFHD. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang trên, ta được:

2OI = AE + CG = BF + DH.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, lấy một điểm D trên cạnh BC (D khác M). Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, M, C đến đường thẳng AD. Chứng minh rằng HI = IK.

Giải

Từ giả thiết ta có BH//MI//CK (vì cùng vuông góc với AD) và BM = MC nên BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều. Do đó chúng chắn trên đường thẳng AD hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK.

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên AM lấy một điểm I sao cho . Gọi D là giao điểm của BI và AC. Chứng minh rằng .

Giải

Ta có tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên AM = BM = CM.

Gọi H, E thứ tự là trung điểm của IM và MC. Kết hợp với giả thiết AM = 3AI ta có

AI = IH = HM = ME = EC.

Qua H, M, E lần lượt kẻ HK, MN, EP cùng song song với ID thu được bốn đường thẳng song song cách đều là ID, HK, MN, EP nên chúng chắn trên AC năm đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là AD = DK = KN = NP = PC.

Điều này chứng tỏ .