Các dạng bài tập về đường trung bình của tam giác, hình thang và cách giải
Các dạng bài tập về đường trung bình của tam giác, hình thang và cách giải
Tài liệu Các dạng bài tập về đường trung bình của tam giác, hình thang và cách giải Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
I. Lí thuyết.
1. Đường trung bình của tam giác
a) Định nghĩa đường trung bình của tam giác:
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác đó.
b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.
Xét hình vẽ:
Tam giác ABC có:
M là trung điểm AB
N là trung điểm AC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC
2. Đường trung bình của hình thang.
a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên hình thang.
ABCD là hình thang, AB // CD
E là trung điểm AD, F là trung điểm BC
EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang.
c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Xét hình thang ABCD có đường trung bình là FE
II. Dạng bài tập
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lý về đường trung bình của tam giác để chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, định lý để suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song với DC;
b) I là trung điểm AM;
c) DC = 4DI.
Lời giải:
a) Vì ED = EB nên E là trung điểm của BD
Lại có M là trung điểm của BC
Suy ra EM là đường trung bình của tam giác BCD
=> EM // CD
b) Xét tam giác AEM có:
Ta có: AD = DE nên D là trung điểm AE.
Lại có I ∈ DC => DI // EM (do DC // EM)
Do đó: DI đi qua trung điểm AM
=> I là trung điểm của AM
c) Từ câu a ta có: EM là đường trung bình của tam giác BCD
Lại có I là trung điểm của AM, D là trung điểm của AE
=> DI là đường trung bình của tam giác AEM
Từ (1) và (2) => 
Dạng 2. Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các định lý liên quan đến đường trung bình của hình thang để chứng minh.
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các đường phân giác ngoài của 
cắt nhau tại E, cắc đường phân giác ngoài 
cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) EF song song AB và CD.
b) EF có độ dạng bằng nửa chu vi hình thang ABCD.
Lời giải:
a) Vì AE là phân giác góc ngoài của 
Vì DE là phân giác góc ngoài của 
Mà 
(hai góc trong cùng phía)
Xét tam giác AED có: 
(tính chất tổng ba góc trong một tam giác)
=> DE = AE
Gọi AE ∩ DC = M
ΔADM có DE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ΔADM cân tại D
Nên DE là đường trung tuyến của ΔADM
=> E là trung điểm của AM.
Gọi BF ∩ DC = N
Chứng minh tương tự có điểm F là trung điểm BN
Lại có tứ giác ABNM có AB // MN (AB // CD) nên ABNM là hình thang
Mà có E, F lần lượt là trung điểm của AM và BN
Nên EF là đường trung bình của hình thang ABNM
=> EF // AB // MM
Hay EF // AB // CD
b) Vì EF là đường trung bình của hình thang ABNM
Mà MD = AD (do tam giác AMD cân tại D); CN = BC (do tam giác BCN cân tại C) nên thay vào (1) ta có:
Vậy độ dài EF bằng nửa chu vi tứ giác ABCD.
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để chứng minh.
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các định nghĩa định lý về đường trung bình để chứng minh bài toán
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh:
a) M, N ,P, Q cùng nằm trên một đường thẳng
b) 
Lời giải:
a) Ta có M là trung điểm của AD, Q là trung điểm BC
=> MQ là đường trung bình của hình thang ABCD
=> MQ // AB // CD (1)
M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BD
=> MN là đường trung bình của tam giác DAB
=> MN // AB (2)
P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC
=> PQ là đường trung bình của tam giác ABC
=> PQ // AB (3)
Từ (1), (2) , (3) => MN // MQ // QP // AB
=> bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng
=> M, N, P, Q thuộc cùng một đường thẳng
b) Đặt AB = a; CD = b
Vì MQ là đường trung bình của hình thang ABCD
Lại có MN, PQ lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và ABC
Ta có:
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
Bài 2: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
a) AFD cân tại F
b) 
Bài 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho 
. Kẻ Mx song song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) AD = DE = EC;
b) SAIB = SIBM ;
c) SABC = SIBC .
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ Hx vuông góc với AB tại P, Hy vuông góc với AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D và E sao cho PH = PD; QH = QE. Chứng minh:
a) A là trung điểm của DE;
b) 
c) PQ = AH.
Bài 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD) với AB = a; BC = b, CD = c và AD = d.
Các tia phân giác của 
cắt nhau tại E, các tia phân giác của và cắt nhau tại F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AD và BC.
a) Chứng minh M, E, N, F cũng nằm trên một đường thẳng.
b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB;
b) So sánh EF và 
c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng từ đó chứng minh EF = 
Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh E, F, I thẳng hàng.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh EI // CD; IF // AB
Bài 9: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK; DE = IK.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh:
a) Tam giác BAE bằng tam giác CAD;
b) Tam giác MDC cân;
c) HK = HC.
