Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi

Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi

Tài liệu Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa:

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇔ AB = BC = CD = DA.

2. Tính chất.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau.

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết:

Hai dấu hiệu về cạnh:

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hai dấu hiệu về đường chéo:

• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hãy chọn câu sai.

A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi.

C. Hình bình hành có đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.

D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hướng dẫn giải

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
• Nên A, C, D đúng, B sai.

Đáp án: B.

Ví dụ 2. Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Tứ giác có hai đường chéo... là hình thoi”.

A. Bằng nhau.

B. Giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

C. Giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

D. Bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hướng dẫn giải

• Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

Nên tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi.

Đáp án: B.

Ví dụ 3. Tứ giác dưới đây là hình thoi theo dấu hiệu nào?

A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.

B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

D. Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hướng dẫn giải

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi nên A đúng.

Đáp án: A.

Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ, MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành.

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ.

Mà

(do MQ là đường trung bình tam giác ABD).

Suy ra AC = BD.

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD hay hình thang ABCD là hình thang cân.

Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DF cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tứ giác EDFB có

nên EDFB là hình bình hành

Suy ra

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD

Mà BE = DF (cmt)

Xét tứ giác EPFQ có

⇒EPFQ là hình bình hành.

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì .

Mà EF//CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC). Nên hay