Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt
Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt
Tài liệu Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Dung hiện nay?
Hướng dẫn giải:
Gọi số tuổi của Dung năm nay là x (x ∈ N, x > 5)
Năm năm trước tuổi Dung là x – 5.
Bốn năm nữa, tuổi Dung là x + 4.
Vì số tuổi 5 năm trước bằng nửa tuổi của Dung 4 năm sau nên ta có phương trình
⇔ 2(x – 5) = x + 4
⇔ 2x – 10 = x + 4
⇔ x = 14 (tmđk)
Vậy năm nay Dung 14 tuổi.
Ví dụ 2: Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau. Nhưng trong học kì 1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh của trường. Hỏi cuối học kì 1, trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ?
Hướng dẫn giải:
Gọi số học sinh toàn trường đầu năm học là a học sinh (a ∈ N*)
Số học sinh nữ đầu năm học là a/ 2 học sinh.
Khi nhà trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam thì số học sinh nữ là a/2 + 15 và số học sinh toàn trường là a + 20 học sinh.
Vì số học sinh nữ lúc này chiếm 51% số học sinh toàn trường nên ta có phương trình:
⇔ 50a + 1500 = 51a + 1020
⇔ a = 480 (thỏa mãn điều kiện a ∈ N*)
Vậy đến cuối kì I số học sinh nữ trong trường là 480: 2 + 15 = 255 học sinh, số học sinh nam là 480: 2 + 5 = 245 học sinh.
Ví dụ 3: Gia đình Đào có 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào. Tuổi trung bình của cả nhà là 23. Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải tuổi bé Mai thì được tuổi của bố, tuổi của mẹ bằng 
tuổi bố và gấp 3 lần tuổi của Đào. Tìm tuổi của mỗi người trong gia đình Đào.
Hướng dẫn giải:
Gọi tuổi của bé Mai là x (0 < x < 10)
Tuổi của bố là 10x.
Tuổi của mẹ là 9/10.10x = 9x
Tuổi của Đào là 3x
Tổng số tuổi của cả nhà Đào là 23.4 = 92, nên ta có phương trình:
x + 10x + 9x + 3x = 92
⇔ 23x = 92
⇔ x = 4 (tmđk)
Vậy số tuổi của bố, mẹ, Mai và Đào lần lượt là 40, 36, 4 và 12 tuổi.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng số tuổi của An và bố hiện nay là 54. Biết rằng bố sinh An khi bố 30 tuổi. Tính tuổi An hiện nay?
Hướng dẫn giải:
Gọi tuổi của An hiện nay là x (0 < x < 24)
Tuổi của bố An hiện nay là x + 30
Vì tổng số tuổi của An và bố là 54 nên ta có phương trình:
x + x + 30 = 54 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 12 (tmđk)
Vậy năm nay An 12 tuổi
Bài 2: Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít. Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu.
Hướng dẫn giải:
Gọi số lít dầu ở thùng A là x lít (18 < x < 100), số dầu ở thùng B là 100 – x (lít)
Sau khi chuyển, số dầu ở thùng A là x – 18 (lít), số dầu ở thùng B là 100 – x + 18 = 118 – x (lít)
Vì sau khi chuyển thì lượng dầu ở hai thùng là bằng nhau nên ta có phương trình:
x – 18 = 118 – x ⇔ x + x = 118 + 18 ⇔ 2x = 136 ⇔ x = 68 (tmđk)
Vậy lượng dầu ban đầu ở thùng 1 là 68 lít, ở thùng 2 là 100 – 68 = 32 lít.
Bài 3: Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân. Sau khi chuyển 10 công nhân ở phân xưởng 1 sang phân xưởng 2 thì 
số công nhân phân xưởng 1 bằng 
số công nhân phân xưởng 2. Tính số công nhân của mỗi phân xưởng lúc đầu?
Hướng dẫn giải:
Gọi số công nhân lúc đầu ở phân xưởng 1 là x người (x ∈ N, 10 < x < 220)
Số công nhân lúc đầu ở phân xưởng 2 là 220 – x (người)
Sau khi chuyển, số công nhân ở phân xưởng 1 là x – 10 (người), số công nhân ở phân xưởng 2 là: 220 – x + 10 = 230 - x (người)
Vì sau khi chuyển số công nhân phân xưởng 1 bằng số công nhân phân xưởng 2 nên ta có phương trình:
Vậy số công nhân lúc đầu của phân xưởng 1 là 130 người, số công nhân của phân xưởng 2 là 90 người.
Bài 4: Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358 cuốn. Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp B là 
. Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là 
. Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu cuốn sách?
Hướng dẫn giải:
Gọi số sách lớp A quyên góp được là x cuốn (x ∈ N*, x < 358)
Tổng số sách 3 lớp góp được là 358 cuốn nên ta có phương trình:
Vậy số sách lớp A góp được là 84 cuốn, lớp B góp được 
cuốn, lớp C góp được 
cuốn.
Bài 5: Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người. Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi dân số tỉnh A hai năm trước là x người(x ϵ N*, x < 612060)
Mỗi năm dân số tăng thêm 1% nên dân số tỉnh A năm ngoái là 
(người).
Dân số tỉnh A năm nay là 
Dân số tỉnh A năm này là 612060 người nên ta có phương trình
Vậy dân số tỉnh A hai năm trước là 600000 người.
Bài 6: Tổng số học sinh của hai lớp 8A và 8B là 78 em. Nếu chuyển 2 em từ lớp 8A qua lớp 8B thì số học sinh của hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Hướng dẫn giải:
Gọi số học sinh của lớp 8A là x học sinh (x ∈ N*, 2 < x < 78)
số học sinh của lớp 8B là 78 – x (học sinh)
Sau khi chuyển, số học sinh của lớp 8A là x – 2 (học sinh), số học sinh của lớp 8B là 78 – x + 2= 80 – x (học sinh)
Vì sau khi chuyển thì số học sinh ở hai lớp là bằng nhau nên ta có phương trình:
x – 2 = 80 – x ⇔ x + x = 80 + 2 ⇔ 2x = 82 ⇔ x = 41 (tmđk)
Vậy số học sinh ban đầu ở lớp 8A là 41 học sinh, số học sinh ban đầu ở lớp 8B là 78 - 41 = 37 học sinh.
Bài 7: Tổng của hai chồng sách là 90 quyển. Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai. Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đầu.
Hướng dẫn giải:
Gọi số sách của chồng thứ hai là x quyển (x ∈ N*, 10 < x < 90), số sách ở chồng thứ nhất là 90 – x (quyển)
Sau khi chuyển, số sách của chồng thứ hai là x – 10 (quyển), số sách ở chồng thứ nhất là 90 – x + 10 = 100 - x(quyển)
Vì sau khi chuyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ hai nên ta có phương trình:
100 – x = 2(x – 10) ⇔ 100 – x = 2x – 20 ⇔ 3x = 120 ⇔ x = 40 (tmđk)
Vậy số sách ban đầu ở chồng thứ nhất là 50 quyển, số sách ở chồng thứ hai là 40 quyển.
Bài 8: Có 15 quyển vở gồm hai loại: loại I giá 2000 đồng một quyển, loại II giá 1500 đồng một quyển. Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng. Hỏi có mấy quyển vở mỗi loại?
Hướng dẫn giải:
Gọi số vở loại I là x quyển (x ϵ N, 0 ≤ x ≤ 15) số vở loại II là 15 - x (quyển)
Số tiền mua vở loại I là 2000x đồng, số tiền mua vở loại II là 1500(15 – x) đồng
Tổng số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng nên ta có phương trình:
2000x + 1500(15 - x) = 26000
⇔ 2000x + 22500 – 1500x = 26000
⇔ 500x = 3500 ⇔ x = 7 (tmđk)
Vậy có 7 quyển vở loại I và 15 – 7 = 8 quyển vở loại II
Bài 9: Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B, có tất cả 50 học sinh tham gia. Các bạn lớp 8B tính số người quen ở lớp 8A và thấy rằng bạn Anh quen 11 bạn, bạn Bắc quen 12 bạn, bạn Châu quen 13 bạn,…và cứ như vậy đến bạn cuối cùng là bạn Yến quen tất cả các bạn của lớp 8A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.
Hướng dẫn giải:
Gọi số học sinh lớp 8B là x bạn (x ∈ N, 0 ≤ x ≤ 50)
Bạn thứ nhất của lớp 8B (bạn Anh) quen 10 + 1 bạn của lớp 8A.
Bạn thứ hai của lớp 8B (bạn Bắc) quen 10 + 2 bạn của lớp 8A.
Bạn thứ ba của lớp 8B (bạn Châu) quen 10 + 3 bạn của lớp 8A.
…………………
Bạn thứ x của lớp 8B (bạn Yến) quen 10 + x bạn của lớp 8A. Mà bạn Yến quen tất cả các bạn lớp 8A nên số học sinh lớp 8A tham gia họp mặt là 10 + x.
Vì có tất cả 50 học sinh tham gia họp mặt nên ta có phương trình:
x + 10 + x = 50 ⇔ 2x = 40 ⇔ x = 20 (tm đk)
Vậy lớp 8A có 20 học sinh, lớp 8B có 30 học sinh dự họp mặt.
Bài 10: Trong một phòng họp có 80 người ngồi họp được xếp đều ngồi trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy ghế có bao nhiêu người ngồi?
Hướng dẫn giải:
Vậy số dãy ghế ban đầu là 10 dãy và số người ngồi trên 1 dãy là 8 người.
