Cách nhận biết hình thang cân hay, chi tiết
Cách nhận biết hình thang cân hay, chi tiết
Tài liệu Cách nhận biết hình thang cân hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải.
Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hình thang ABCD (AB//CD) có 
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân
Giải
Vì ABCD là hình thang nên AB//CD , kết hợp giả thiết, ta có:
(Vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2) thu được OA + OC = OB + OD ⇒ AC = BD.
Điều này chứng tỏ hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Cắt hai cạnh của tam giác ABC bởi một cát tuyến song song với cạnh đáy BC thì tứ giác thu được là hình gì?
Giải
Gọi giao điểm của cát tuyến với các cạnh AB, AC lần lượt là M, N.
Tứ giác MNCB có hai cạnh đối MN//BC nên là hình thang.
Mặt khác vì tam giác ABC cân tại A nên ta có: 
.
Do đó hình thang MNCB có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BE, CF của các góc B và C.
a) Chứng minh tam giác AEF cân.
b) Chứng minh tam giác BFC và CEB bằng nhau.
c) Chứng minh BFEC là hình thang cân.
Giải
a) Ta có
(t/c phân giác)
Mà 
(tam giác ABC cân tại A)
Xét tam giác ABE và ACF ta có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
b) Xét tam giác BFC và CEB ta có:
c) Ta có
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF//BC .
Tứ giác BCEF có EF//BC nên BCEF là hình thang.
Lại có 
(tam giác ABC cân tại A)
Vậy BCEF là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
C. Bài tập vận dụng.
Câu 1. Cho tam giác AMN cân tại A. Các điểm B, C lần lượt trên các cạnh AM, AN sao cho AB = AC. Hãy chọn câu đúng.
A. MB = NC.
B. BCNM là hình thang cân.
C. 
D. Cả A, B, C đều đúng.
nên C đúng.
do đó A đúng.
(do ΔAMN cân tại A).
là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra BC//MN .
(tam giác AMN cân tại A) là hai góc kề một đáy nên là hình thang cân. Do đó B đúng.Câu 2. Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ các đường trung tuyến NQ, PS. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. NSQP là hình thang cân.
B. MSQ là tam giác cân tại S.
C. MSQ là tam giác cân tại Q.
D. NQ ≠ SP.
. Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào tam giác cân MNP, ta được:
(vì hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
nên là hình thang cân. Suy ra NQ = SP (tính chất hình thang cân). Do đó A đúng, D sai.Câu 3. Cho ΔBAC cân tại A. Kẻ các đường cao BD, CE. Tứ giác BEDC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân.
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều đúng.
. Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
(hai góc ở vị trí đồng vị)
nên là hình thang cân.Câu 4. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I, biết rằng AI = IC, IB = ID. Tứ giác ACBD là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân.
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều đúng.
là hai góc đối đỉnh nên đặt 
.
và hai tam giác IAC, IBD đều cân tại I, áp dụng tính chất về tổng các góc trong tam giác vào hai tam giác cân IAC và IBD, ta được:
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang vuông.
C. Hình thang cân.
D. Cả A, B, C đều sai.
và 
là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE//BC
(vì tam giác ABC cân tại A) là hai góc kề một cạnh đáy nên BDEC là hình thang cân.Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho DE//BC . Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác BDEC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang vuông.
C. Hình thang cân.
D. Cả A, B, C đều sai.
(vì tam giác ABC cân tại A) là hai góc kề một cạnh đáy nên BDEC là hình thang cân.Câu 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?
A. Hình thang.
B. Hình thang cân
C. Hình thang vuông.
D. Cả A, B, C đều sai.
(tổng ba góc trong một tam giác) nên
(tổng ba góc trong một tam giác) nên
là hai góc đồng vị nên MN//BC
( ΔABC cân tại A) là hai góc kề một đáy nên MNCB là hình thang cân.Câu 8. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn khẳng định đúng?
A. KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD.
B. KI là đường trung trực của đáy AB nhưng không là đường trung trực của CD.
C. KI là đường trung trực của đáy CD nhưng không là trung trực của AB.
D. KI không là đường trung trực của cả hai đáy AB và CD.
(vì tam giác KDC cân tại K) là 2 góc kề một đáy nên ABCD là hình thang cân.
(hai góc tương ứng).
(cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó
.
nên tam giác IAB cân tại I. Do đó IA = IB (3)Câu 9. Cho tam giác KDC cân tại K. Trên các cạnh KD, KC lấy các điểm A, B sao cho AB//CD. Gọi I là giao điểm của BD và AC. Chọn câu sai.
A. ΔABK cân tại K.
B. ΔKCD cân tại K.
C. ΔICD đều.
D. KI là đường phân giác 
.
(vì tam giác KDC cân tại K) nên ABCD là hình thang cân.
(hai góc tương ứng).
(cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Nên C sai vì ta chưa đủ điều kiện để chứng minh IC = CD để tam giác đều.
, do đó KI là tia phân giác 
nên D đúng.
(các cặp góc đồng vị bằng nhau)
(tính chất hình thang cân) nên 
hay ΔKAB cân tại K. Do đó A đúng.Câu 10. Phải bổ sung thêm điều kiện gì thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân?
A. Hai cạnh đáy không bằng nhau.
B. Hai cạnh bên không song song.
C. Cả A và B.
D. A hoặc B.
