Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cực hay, có lời giải
Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cực hay, có lời giải
Tài liệu Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến cực hay, có lời giải Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
Để chứng minh 1 một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
+ Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( Nếu có)
+ Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = (x2 - x).(x + 1) - (x2 + x).(x - 1)
Chứng minh
Ta có: A = (x2 - x).(x + 1) - (x2 + x).(x - 1)
A = x2(x + 1) - x.(x + 1) - x2(x - 1) - x(x - 1)
= x3 + x2 - x2 - x - x3 + x2 - x2 + x
= (x3 - x3) + (x2 - x2 + x2 - x2) + (x - x)
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trụ của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
B = x2(x - 2) - x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
Chứng minh
Ta có:
B = x2(x - 2) - x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
= x2.x - x2.2 - x.x2 - x.x - x.1 + x.3x + x.1
= x3 - 2x2 - x3 - x2 - x + 3x2 + x
= (x3 - x3) + (3x2 - 2x2 - x2) + (x - x)
= 0 + 0 + 0
= 0
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào x.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giá trị của biểu thức 
là ?
A.x + 1
B. 4
C. - 4
D. 1- x
Chọn C.
Câu 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y
A = (x - y).(x + y) + (y - x).(y + x) + 10
Chứng minh
Ta có:
A = (x - y).(x + y) + (y - x).(y + x) + 10
= x(x + y) - y(x + y) + y.(y + x) - x(y + x) + 10
= x2 + xy - xy - y2 + y2 + xy - xy - x2 + 10
= (x2 - x2) + (y2 - y2) + (xy - xy + xy - xy) + 10
= 0 + 0 + 0 + 10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A là 10 và không phụ thuộc vào x và y.
Câu 3. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x.
A = x(x2 + 10) - (x2 + 1)(x - 2) - x(2x + 9) + 2
Chứng minh
Ta có: A = x(x2 + 10) - (x2 + 1)(x - 2) - x(2x + 9) + 2
A = x3 + 10x - x2(x - 2) -1.(x - 2) - 2x2 - 9x + 2
= x3 + 10x - x3 + 2x2 - x + 2 - 2x2 - 9x + 2
= (x3 - x3) + (2x2 - 2x2) + (10x - x - 9x) + (2 + 2)
= 0 + 0 + 0 + 4
= 4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc giá trị của biến x.
Câu 4. Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến.
A = (x - y2).(x + y2) + (y2 - 2).(y2 + 2) - x2
Chứng minh
A = (x - y2).(x + y2) + (y2 - 2).(y2 + 2) - x2
= x(x + y2) - y2(x + y2) + y2(y2 + 2) - 2(y2 + 2) - x2
= x2 + xy2 - xy2 - y4 + y4 + 2y2 - 2y2 - 4 - x2
=(x2 - x2) + (xy2 - xy2) + (y4 - y4) + (2y2 - 2y2) - 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến
Câu 5. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = (2x - 4).(1 - x2) + x(2x2 - 2 - 4x)
Chứng minh
A = (2x - 4).(1 - x2) + x(2x2 - 2 - 4x)
= 2x(1 - x2) - 4(1 - x2) + 2x3 - 2x - 4x2
= 2x - 2x3 - 4 + 4x2 + 2x3 - 2x - 4x2
= (2x - 2x) + (2x3 - 2x3) + (4x2 - 4x2) - 4
= 0 + 0 + 0 - 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x
Câu 6. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x; y
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y
Câu 7. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y
A = (9x - 2y).(x - y) + y(3x - 2y) + (1 - x).(1 + x)
Chứng minh
A = (9x - 2y).(x - y) + y(3x - 2y) + (1 - x).(1 + x)
A = x2 - xy - 2xy + 2y2 + 3xy - 2y2 + 1 + x - x - x2
A = (x2 - x2) + (-xy -2xy + 3xy) + (2y2 - 2y2) + (x - x) + 1
A = 0 + 0 + 0 + 0 + 1
A = 1
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y
Câu 8. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.
A = x3 - y3 + (y -x)(x2 + y2) + xy(y - x)
Chứng minh
A = x3 - y3 + (y - x)(x2 + y2) + xy(y - x)
A = x3 - y3 + x2y + y3 - x3 - xy2 + xy2 x2y
A = (x3 - -x3) + (y3 - y3) + (x2y - x2y) + (xy2 - xy2)
A = 0 + 0 + 0 + 0
A = 0
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y
Câu 9. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y?
A = x2(xy - y - x) - x2y(x - 1) + (x -1)(x2 + x + 1)
Chứng minh
A = x2(xy - y - x) - x2y(x - 1) + (x -1)(x2 + x + 1)
A = x3y - x2y - x3 - x3y + x2y + x3 + x2 + x -x2 - x - 1
A = (x3y - x3y) + (x2y - x2y) + (x3 - x3) + (x2 - x2) + (x - x) - 1
A = 0 + 0 + 0 + 0 -1
A = -1
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x, y
Câu 10. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = x4 - (x2 - 2).(x2 + 2)
Chứng minh
A = x4 - (x2 - 2).(x2 + 2)
A = x4 - (x4 + 2x2 - 2x2 - 4)
A = x4 - (x4 - 4)
A = x4 - x4 + 4
A = 4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc biến x.
