Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Tài liệu Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để phù hợp với các nhân tử.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử (3x + 1)2 - 4(x - 2)2
A. ( 5x – 3). (x+ 5)
B. (2x + 1). (4x –2)
C. (6x- 1). (2x+2)
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có:
(3x + 1)2 - 4(x - 2)2
= (3x + 1)2 - [2(x - 2)]2
= [3x + 1 + 2(x - 2)][3x + 1 - 2(x - 2)]
= (3x + 1 + 2x - 4)(3x + 1 - 2x + 4) = (5x - 3)(x + 5)
Chọn A.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1 - 9x + 27x2 - 27x3
A. (x - 3)3
B. (3x - 1)3
C. (1 - 3x)3
D. (3 - x)3
Lời giải
Ta có:
1 - 9x + 27x2 - 27x3
= 13 - 3.12.3x + 3.1.(3x)2 - (3x)3
= (1 - 3x)3
Chọn C.
Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 8x3 - 27
A. (2x - 1)(2x2 + 6x + 9)
B. (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)
C. (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có:
8x3 - 27
= (2x)3 - 33 = (2x - 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]
= (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)
Chọn C.
Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 4x2y2 + y2 + 2xy
A.( x+ y+ 2xy).(x+ y- 2xy)
B.(x + y+ 2).(x+ y-2)
C.(x+ y- 2xy).(x+ y+ 2xy)
D.(x+ 2y- xy). (x- 2y – xy)
Lời giải
Ta có:
x2 - 4x2y2 + y2 + 2xy
= (x2 + 2xy + y2) - 4x2y2
= (x + y)2 - (2xy)2
= (x + y + 2xy)(x + y - 2xy)
Chọn C.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử -4x2 + 12xy - 9y2 + 25
A. (5+ 2x – 3y).(5- 2x+ 3y)
B. (5+ 2x + 3y). (5- 2x- 3y)
C. (2x + 3y – 5).( 2x + 3y+ 5)
D. Đáp án khác
Ta có:
-4x2 + 12xy - 9y2 + 25
= 25 - (4x2 - 12xy + 9y2)
= 52 - [(2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2]
= 52 - (2x - 3y)2
= (5 + 2x - 3y)(5 - 2x + 3y)
Chọn A.
Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử (4x2 - 3x - 18)2 - (4x2 + 3x)2
A. -12.(2x+ 3). (2x – 3).(x+ 2)
B. -6.(2x+ 1). (2x- 1). (x+ 3)
C. 2(2x + 1).(x+ 3). (x -3)
D. 12 (x+ 3). (2x- 3). (2x+ 1).
(4x2 - 3x - 18)2 - (4x2 + 3x)2
= (4x2 - 3x - 18 + 4x2 + 3x)(4x2 - 3x - 18 - 4x2 - 3x)
= (8x2 - 18)(-6)(x + 3)
= 2(4x2 - 9)(-6)(x + 3)
= -12(2x + 3)(2x - 3)(x + 3)
Chọn C
Câu 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
Ta có:
Chọn D.
Câu 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử (ax + by)2 - (ay + bx)2
A. (a x+ by). (ay+ bx)
B. (ax + by).(ax- by)
C. (a+ b).(a – b).(x- y).(x+ y)
D. (a + b).(ax+ by).(x+ y)
(ax + by)2 - (ay + bx)2
= (ax + by + ay + bx)(ax + by - ay - bx)
= [(ax + bx) + (by + ay)][(ax - bx) - (ay - by)]
= [(a + b)x + (a + b)y][(a - b)x - (a - b)y]
= (a + b)(x + y)(a - b)(x - y)
Chọn C.
Câu 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x6 - 1
A. (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)
B. (x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
C. (x2 - x + +1)(x - 1)(x2 + x + 1)
D. Đáp án khác
Ta có:
x6 - 1 = (x3)2 - 1 = (x3 + 1)(x3 - 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1)(x - 1)(x2 + x + 1)
Chọn A.
Câu 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3
A. (3x - 2y)3
B. (2x - 3y)3
C. (x - 3y)2
D. (2 - x - 3y)3
27x3 - 54x2y + 36xy2 - 8y3
= (3x)3 - 3(3x)2.2y + 3.3x(2y)2 - (2y)3
= (3x - 2y)3
Chọn A.
Câu 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 125x3 + 27y3
A. (5x + 3y)(25x2 - 30xy + 9y2)
B. (5x + 3y)(25x2 - 15x2 - 15xy + 9y2)
C. (5x - 3y)(25x2 + 30xy + 9y2)
D. (5x - 3y)(5x2 - 15xy + 3y2)
Ta có:
125x3 + 27y3
= (5x)3 + (3y)3
= (5x + 3y).[(5x)2 - 5x.3y + (3y)2]
= (5x + 3y)(25x2 - 15xy + 9y2)
Chọn B.
Câu 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 2xy + y2 - 4m2 + 4mn - n2
A. (x – y+ 2m + n). (x- y- 2m – n)
B. (x+ y- 2n + m). (x + y + 2n – m)
C. (x – y + 2m – n).(x- y- 2m + n)
D. Đáp án khác
x2 - 2xy + y2 - 4m2 + 4mn - n2
= (x2 - 2xy + y2) - (4m2 - 4mn + n2)
= (x - y)2 - (2m - n)2
= (x - y + 2m - n)(x - y - 2m + n)
Chọn C.
Câu 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
Chọn D.
Câu 10. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4b2c2 - (b2 + c2)2
A. (b - c)2.(b + c)2
B. -(b - c)2.(b + c)2
C. -(b - c)2.(-b + c)2
D. (2b - c)2.(2b + c)2
4b2c2 - (b2 + c2)2
= (2bc)2 - (b2 + c2)2
= (2bc + b2 + c2)(2bc - b2 - c2)
= -(b2 + 2bc + c2).(b2 - 2bc + c2)
= -(b + c)2.(b - c2)
Chọn B.
