Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC, AD = BC, AC = BD và AC, BD cắt nhau tại

trung điểm O của mỗi đường. Hay OA = OB = OC = OD nên A, B, C đúng, D sai.

Đáp án: D.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5 cm.

Đáp án: A.

Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật.

Xét tam giác DMB có (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD.

Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 2AB = 2AC = 2.6 = 12 cm

Vậy chu vi ADME là 12 cm.

Đáp án: D.

Kẻ thì

MK//AC .

Tứ giác MKHQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Xét tam giác BMP và MBK có:

BM chung;

(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn) suy ra MP = BK. (1)

Lại có MQ = KH (2) theo tính chất về cạnh của hình chữ nhật.

Cộng theo vế đẳng thức (1) và (2), ta được MP + MQ = BK + KH = BH.

Đáp án: A.

Đặt .

Từ giả thiết vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau. Vì là góc ngoài của ΔBDH nên

Ta có (đối đỉnh), suy ra

Trong tam giác vuông AHC ta có

Từ (1) và (2)

Do đó I là trung điểm của AC nên chọn AC là một đường chéo.

Vẽ thêm E sao cho I là trung điểm của HE thì tứ giác AHCE là hình chữ nhật, vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và có góc vuông. Áp dụng định nghĩa vào hình chữ nhật AHCE ta được HC//AE suy ra (vì so le).

Lại có nên , suy ra AD = AE.

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật AHCE và tính chất hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau ta được

Đáp án: C.

Áp dụng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông ABC, ta được:

(vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).

Lại có do cùng phụ với góc B, suy ra (1) hay

Vì AD là phân giác của góc A theo giả thiết nên (2)

Trừ theo vế đẳng thức (2) cho (1) ta được .

Điều này chứng tỏ AD là tia phân giác của góc HAM.

Đáp án: C.

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.

Ta có:

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra

DQ = QE = DE : 2.

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2.

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF.

Suy ra DQ = FN và DQ//FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD – CF Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b .

Đáp án: B.

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên

Tương tự

Do đó

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có:

Do đó (không đổi).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành.

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là

Đáp án: C.

Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật nên

AM = DE (tính chất).

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Khi đó DE = AM.

Xét tam giác ABC, theo định lý Py-ta-go ta có

Gọi BM = x thì MC = 25 – x.

Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Suy ra:

suy ra DE = AM = 12cm.

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm.

Đáp án: D.

Xét tam giác ABD có M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML//AB và ML = AB : 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK//AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có:

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6.

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB (= 6);KL//AB. Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có:

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân).

Suy ra AK = BL.

Xét hình bình hành ABKL có AK = BL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông AML vuông tại L ta có:

Vậy AL = BK = 4.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AKL ta có: .

Đáp án: C.