X

Các dạng bài tập Toán 8

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết


Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Tài liệu Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

A. Phương pháp giải.

Chứng minh quan hệ về độ dài:

  • Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. Với là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

  • Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.

Giải

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ thì nửa chu vi của tứ giác ABCD là:

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác ABD và BCD, ta được:

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Từ (1) và (2) suy ra

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

hay

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Chứng minh tương tự, ta cũng được

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Vậy mỗi đường chéo nhỏ hơn nửa chu vi của tứ giác.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Giải

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào hai tam giác chứa hai cạnh đối nhau AB, CD là OAB, OCD ta được:

OA + OB > AB hay OA + OB > a (1)

OC + OD > CD hay OC + OD > c (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA + OB + OC + OD > a + c ⇒ AC + BD > a + c

Chứng minh tương tự, ta cũng được AC + BD > b + d

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Giải

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Giả sử tứ giác ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Gọi O là giao điểm của AC, BD ta có: AC + BD = AO + OB + OC + OD > AB + CD = a + c (bất đẳng thức tam giác)

Tương tự ta chứng minh được: AC + BD > b + d

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC < AB + BC = a + b; AC < AD + DC = c + d

BD < AB + AD = a + d; BD < BC + CD = b + c

⇒2AC + 2BD < 2a + 2b + 2c + 2d

⇒AC + BD < a + b + c + d.

Vậy tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết. Chứng minh rằng:Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Giải

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Gọi K là giao điểm của AD và BC.

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết nên Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết (định lý tổng ba góc của tam giác)

Áp dụng định lý Pyatgo

Xét ΔKAC vuông tại K ta có: Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Xét ΔKBD vuông tại K ta có: Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Xét ΔKAB vuông tại K ta có: Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Xét ΔKCD vuông tại K ta có: Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Từ đó

Chứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiết

Xem thêm Lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án hay khác: