Các dạng bài tập về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân và cách giải
Các dạng bài tập về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân và cách giải
Tài liệu Các dạng bài tập về hình thang, hình thang vuông, hình thang cân và cách giải Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
I. Lý thuyết
1. Hình thang
- Tứ giác lồi có hai cạnh đối song song là hình thang.
- Hai cạnh song song đó gọi là hai cạnh đáy.
- Hai cạnh còn lại là hai cạnh bên.
Ta có: tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang
Hai cạnh đáy là AB và CD
Hai cạnh bên là BC và AD
- Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng
2. Hình thang cân
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
- Tính chất của hình thang cân:
Hình thang ABCD cân có AB // CD
+ Hai góc kề một đáy bằng nhau 
+ Hai cạnh bên bằng nhau (BC = AD)
+ Hai đường chéo bằng nhau (AC = BD)
Dấu hiệu nhận biết:
+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.
3. Hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Cho hình thang ABCD có 
nên hình thang ABCD là hình thang vuông
II. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã học về hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, 
. Tính số đo các góc của hình thang.
Lời giải:
Vì AB // CD nên ta có
(hai góc trong cùng phía)
Vì AB // CD nên ta có:
Thay vào (*) ta được:
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Biết 
. Tính các góc của hình thang.
Lời giải
Vì AB // CD ta có:
(hai góc trong cùng phía)
Mà ABCD là hình thang cân nên ta có:
Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vuông
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.
Lời giải:
Vì BD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC.
Vì CE là đườg trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AB
Mà AB = AC (do tam gác ABC cân tại A)
Do đó: AD = AE
Xét tam giác AED có
AD = AE ( chứng minh trên)
Do đó: cân tại A
Ta có:
(tổng ba góc trong một tam giác)
(do tam giác AED cân tại A nên 
)
Lại có: cân tại A nên:
(tổng ba góc trong một tam giác)
Từ (1) và (2) => 
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ED //BC
=> Tứ giác BCDE là hình thang
Mặt khác: cân tại A nên 
Vậy hình thang BCDE là hình thang cân (do có hai góc kề một đáy bằng nhau).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A
Vì tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D
Do đó: 
Mà 
là hai góc so le trong
Do đó: AD // BC
Xét tứ giác ABCD ta có:
Suy ra ABCD là hình thang vuông.
Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán.
Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông đã học để giải quyết bài toán
Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có 
, AB = AD , DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.
a) Chứng minh: ΔABD = ΔEDB
b) Chứng minh: ΔBEC vuông cân tại E.
Lời giải:
a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD => 
(hai góc so le trong)
Vì BE vuông góc với DC => 
Xét ΔABD và tam giác ΔEDB ta có:
BD chung
Do đó: ΔABD = ΔEDB (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Từ hai tam giác bằng nhau ở câu a ta có:
AB = ED; AD = EB (các cặp cạnh tương ứng)
Mà 
Suy ra E là trung điểm của CD
=> ED = AB = EC
Mà AB = AD (giả thuyết)
Nên ED = AB = EC = AD = EB
Xét tam giác BEC có
EB = EC
Vậy ΔBEC là tam giác vuông cân tại E
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AGB cân tại G;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) FC = FD.
Lời giải:
a) Vì AB // CD nên ta có:
(hai góc đồng vị)
(hai góc đồng vị)
Mà 
(do ABCD là hình thang cân)
Do đó: 
Xét tam giác AGB có:
Nên tam giác AGB là tam giác cân tại G.
b) Xét hai tam giác ABD và BAC có:
AB chung
AD = BC (do ABCD là hình thang cân)
AC = BD (do ABCD là hình thang cân)
Do đó: ΔABD = ΔBAC (c – c – c)
c) Ta có:
Mà 
(ABCD là hình thang cân)
Do đó: 
Xét tam giác FCD có:
Suy ra tam giác FCD cân tại F
FC = FD (điều phải chứng minh)
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, 
. Tính các góc của hình thang.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AH và BK là hai đường cao của hình thang.
a) Chứng minh:
b) Biết AB = 6cm, CD = 14cm, AD = 5cm. Tính DH, AH và diện tích hình thang ABCD.
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD. Chứng minh:
a) AK là tia phân giác góc A.
b) KC = BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4cm. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của góc 
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB.
Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = 3cm, CD = 6cm. Tính số đo góc B, góc C.
Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), Hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài AB của hình thang.
Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M song song với CA cắt AB tại I.
a) Tứ giác ACMI là hình gì?
b) AB + AC < AH + BC.
