Cách chứng minh hai phương trình tương đương cực hay, có đáp án
Cách chứng minh hai phương trình tương đương cực hay, có đáp án
Tài liệu Cách chứng minh hai phương trình tương đương cực hay, có đáp án Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
+ Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
+ Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.
* Hai qui tắc biến đổi phương trình:
+ Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?
a) 3x = 3 và x – 1 = 0
b, x + 3 = 0 và 3x + 9 = 0.
a, Ta có 3x = 3 ⇔ 3x – 3 = 0 ⇔ 3(x – 1) = 0 ⇔ 3(x – 1) : 3 = 0 : 3 ⇔ x – 1 = 0
Vậy 3x = 3 ⇔ x – 1 = 0
b, Ta có x + 3 = 0 ⇔ 3(x + 3) = 0.3 ⇔ 3x + 9 = 0
Vậy x + 3 = 0 ⇔ 3x + 9 = 0.
Ví dụ 2: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?
a, x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0
b, 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0
Hướng dẫn giải:
a, Phương trình x – 2 = 0 có tập nghiệm S = {2},
phương trình (x - 2)(x - 3) = 0 có tập nghiệm S = {2; 3}
Vậy 2 phương trình x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0 không tương đương
b, Phương trình 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
⇒ phương trình 2x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {3}
Phương trình x(x – 3) = 0 có tập nghiệm S = {0;3}
Vậy 2 phương trình 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0 không tương đương
Ví dụ 3: Xét xem hai phương trình x + 2 = 0 và 
có tương đương không?
Hướng dẫn giải:
Ta có x = -2 là nghiệm của phương trình x + 2 = 0.
Haylamdo biên soạn và sưu tầm x = -2 phương trình vô nghĩa.
Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Phương trình x – 1 = 0 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x = 1 .
B. x = -1
C. x2 + 1 = 0
D. x2 - 1 = 0
Đáp án: A
Ta có x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
Bài 2: Phương trình 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây ?
A. x2 – 4 = 0.
B. x – 6 = 0.
C. x = 3
D. (x – 2)(x2 + 1) = 0.
Đáp án: D
Ta có (1) giải PT: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.
phương trình 3x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {2}
(2) giải PT: x2 – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 ⇔ 
Phương trình x2 – 4 = 0 có tập nghiệm S = {-2;2}
(3) giải PT: x – 6 = 0 ⇔ x = 6
Phương trình x - 6 = 0 có tập nghiệm S = {6}
(4) Phương trình x = 3 có tập nghiệm S = {3}
(5) giải PT: (x – 2)(x2 + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 (vì x2 + 1 ≥ 1 với mọi x)
⇔ x = 2
Phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 có tập nghiệm S = {2}
Vậy PT 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 vì có cùng tập nghiệm.
Bài 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. x = 0 và x(x + 1) = 0 là hai phương trình tương đương.
B. 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.
C. x = 2 và │x│ = 2 là hai phương trình tương đương.
D. x2 = 1 và x2 = x là hai phương trình tương đương.
Đáp án: B
Ta có 3x + 2 = x + 8 ⇔ 2(3x + 2) = 2(x + 8) ⇔ 6x + 4 = 2x + 16.
Vậy 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.
Bài 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. x – 3 = 0 và 3x = 9 là hai phương trình tương đương.
B. 2x + 1 = 1 và 3x = 0 là hai phương trình tương đương.
C. 2x – 4 = 0 và x2 = 4 là hai phương trình tương đương.
D. 3x + 5 = x – 3 và 2x -1 = 3x + 3 là hai phương trình tương đương.
Đáp án: C
Ta có 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2; x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2;
Vậy hai phương trình 2x – 4 = 0 và x2 = 4 không có cùng tập nghiệm, là hai phương trình không tương đương.
Bài 5: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?
a, 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10
b, 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x.
Hướng dẫn giải:
a, Ta có 18x + 5 = 8x +15 ⇔ 18x – 8x = 15 – 5 ⇔ 10x = 10.
Vậy 2 phương trình 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10 là tương đương.
b, Ta có: (1) 2x – 1 = 2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 
Phương trình 2x – 1 = 2 có tập nghiệm S = {};
(2) (2x – 1)x = 2x ⇔ (2x – 1)x - 2x = 0 ⇔ x(2x - 1 – 2) = 0
⇔ x (2x - 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x = 3 ⇔ x = 0 hoặc x =
Phương trình (2x – 1)x = 2x có tập nghiệm S = { 0; }
Vậy hai phương trình 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm
Bài 6: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?
a, 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x.
b, │3x│ = 6 và │x│ = 2.
Hướng dẫn giải:
a, Ta có 2x - 3 = 9 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6;
(2x - 3)x = 9x ⇔ 2x2 – 3x – 9x = 0 ⇔ 2x2 – 12x = 0 ⇔ 2x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 6.
Vậy hai phương trình 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm
b, Ta có │3x│ = 6 ⇔ 3│x│ = 6 ⇔ │ x│ = 2.
Vậy 2 phương trình │3x│ = 6 và │x│ = 2 là tương đương.
Bài 7: Chứng minh hai phương trình 
và x + 3 = 4x + 4 tương đương.
Hướng dẫn giải:
Ta có: ⇔ x – 3 = 4x – 2 ⇔ x – 3 + 6 = 4x – 2 + 6 ⇔ x + 3 = 4x + 4.
Vậy hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.
Bài 8: Khẳng định 
và 2x = 4 là hai phương trình tương đương đúng hay sai ? Vì sao ?
Hướng dẫn giải:
Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương là sai.
Vì phương trình 2x = 4 có nghiệm x = 2. Nhưng với x = 2 thì phân thức 
vô nghĩa.
Vậy x = 2 không là nghiệm của phương trình .
Bài 9: Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a, x + 1 = x và x2 + 1 = 0.
b, x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2).
Hướng dẫn giải:
a, ta có x + 1 = x ⇔ 0x = 1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm;
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm
⇒ Hai phương trình x + 1 = x và x2 + 1 = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm.
b, Ta có:
x + 2 = 2 ⇔ x = 2 – 2 ⇔ x = 0
PT x + 2 = 2 có tập nghiệm S = { 0}
(x + 2)(x – 2)= 2(x - 2)
⇔ (x + 2)(x – 2) - 2(x - 2) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2 – 2) = 0
⇔ (x – 2)x = 0
⇔ 
Pt (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) có tập nghiệm S = {0;2}
Vậy hai phương trình x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) không tương đương vì không có cùng tập nghiệm.
Bài 10: Chứng minh các phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương:
Hướng dẫn giải:
Ta có │x - 1│ = 2 ⇔ x – 1 = -2 hoặc x – 1 = 2 ⇔ x = -1 hoặc x = 3;
(x + 1)(x - 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3.
Vậy hai phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm
