Bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (bài tập + lời giải)

Haylamdo biên soạn và sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Để giải các bài toán thực tế có vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Vẽ hình mô phỏng lại bài toán.

Bước 2: Xác định đường phân giác và cạnh đối diện của đường phân giác đó trong tam giác.

Bước 3: Áp dụng định lí về tính chất đường phân giác của tam giác để lập hệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 4: Thay số vào hệ thức và áp dụng tính chất của tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau để tìm độ dài đoạn thẳng.

Bước 5: Kết luận.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

· Định lí (Tính chất đường phân giác của tam giác)

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc nhọn chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Trong hình vẽ trên, ta có AD là phân giác của góc BAC thì $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

· Tính chất của tỉ lệ thức: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì a.d = b.c và $\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{d}{b}=\frac{c}{a};\frac{d}{c}=\frac{b}{a}.$

· Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}·$

· Công thức tính quãng đường đi được trong chuyển động thẳng đều:

S = vt,

trong đó: v là vận tốc;

t là thời gian để vật đi hết quãng đường;

S là quãng đường vật đi được.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nhà bạn Mai ở vị trí M, nhà bạn Dung ở vị trí D, biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của AB. Hai bạn hẹn gặp nhau tại vị trí I trên hình vẽ. Quãng đường bạn Mai đi từ M tới I là MI = 1 km. Hỏi bạn Dung phải đi quãng đường từ D đến I (không đi qua bất kì điểm nào khác ngoài D và I) là bao nhiêu ki lô mét?

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài, ABCD là hình vuông nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}.$

Vì M là trung điểm của AB nên $AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD$ (do AB = AD).

$\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆MAD có: AI là tia phân giác của $\widehat{MAD}$ (do AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$),

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ∆MAD ta có:

$\frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{ID}$ suy ta 1 ∙ ID = 2 ∙ 1 hay ID = 2.

Vậy bạn Dung đi quãng đường từ D đến I (không đi qua bất kì điểm nào khác ngoài D và I) là ID bằng 2 km.

Ví dụ 2. Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con sông kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không? Biết AD = 5 m và BD = 8 m.

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có $\widehat{AMD}=\widehat{BMD},$ suy ra MD là tia phân giác $\widehat{AMB}.$

Xét ∆AMB có MD là tia phân giác $\widehat{AMB}$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong

∆AMB ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}=\frac{5}{8}.$

Vậy tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B là $\frac{MA}{MB}=\frac{5}{8}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hình dưới đây minh họa một phần nền nhà được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Đặt một thước gỗ trên mặt nền nhà sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN};$

B. $\frac{CN}{AN}=\frac{CM}{AM};$

C. $\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM};$

D. $\frac{CN}{AM}=\frac{CM}{AN}.$

Bài 2. Một người đứng đỉnh tháp Busan (điểm D) quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, C lần lượt là chân ba cột đèn sao cho A, B, C thẳng hàng (như hình dưới đây). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, B thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, C, tức là $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}.$ Hỏi tỉ số khoảng cách từ vị trí D đang đứng đến điểm A và đến điểm C mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng bao nhiêu? Biết khoảng cách giữa hai chân cột đèn A, B là 30 m và khoảng cách giữa hai chân cột đèn B, C là 25 m.

A. $\frac{6}{5};$

B. $\frac{5}{6};$

C. $\frac{1}{3};$

D. 1.

Bài 3. Hai ngư dân A, B đứng ở hai bên bờ sông cách một cái lều M lần lượt là 14 m; 20 m và cùng nhìn thấy một cù lao C trên sông (được mô tả như hình vẽ) sao cho $\widehat{ACM}=\widehat{MCB}.$ Hỏi tỉ số khoảng cách của ngư dân A và B đến cù lao C trên sông là bao nhiêu?

A. $\frac{7}{10};$

B. $\frac{17}{10};$

C. $\frac{10}{7};$

D. $\frac{17}{3}.$

Bài 4. Ba bạn Mai, Lan, Điệp hẹn gặp nhau tại nhà bạn Lan, biết rằng nhà bạn Mai ở vị trí A, nhà bạn Lan ở vị trí G và nhà bạn Điệp ở vị trí M (được mô tả như hình vẽ). Biết rằng tứ giác ABCD là hình vuông và M là trung điểm của CD. Quãng đường bạn Điệp đi từ nhà tới nhà bạn Lan là 3 km. Hỏi bạn Mai phải đi quãng đường ngắn nhất từ nhà tới nhà bạn Lan là bao nhiêu kilômét để gặp Lan và Điệp?

A. 12 km;

B. 2 km;

C. 3 km;

D. 6 km.

Bài 5. Để bảo trì tượng nữ thần tự do với chiều cao là AD = 93 m người thợ đã gắn hai dây thép cố định vào hai vị trí B và C (như hình vẽ) sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}.$ Tính chiều dài của dây thép khi được căng thẳng từ A đến B biết rằng độ dài BC = 20 m và CD = 15 m.

A. 125 m;

B. 124 m;

C. 100 m;

D. 69,75 m.

Bài 6. Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp (điểm A) đến trường B phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm C (như hình vẽ). Điểm H là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CH đường là phân giác $\widehat{ACB},$ AH = 0,32 km và BH = 0,4 km. Biết bạn Hải đi xe đạp đến C lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h.

A. 6 giờ 45 phút;

B. 7 giờ;

C. 7 giờ 15 phút;

D. 7 giờ 30 phút.

Bài 7. Nhà bạn Bảo ở vị trí M, nhà bạn Lan ở vị trí D (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và AB = 3AM. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường MD để đi đến điểm I. Bạn Lan xuất phát lúc 7 giờ. Hỏi bạn Bảo phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Lan lúc 7 giờ 30 phút tại điểm I?

A. 7 giờ;

B. 7 giờ 15 phút;

C. 7 giờ 20 phút;

D. 7 giờ 30 phút.

Bài 8. Một chiếc thuyền xuất phát từ vị trí I chở hàng cho hai hòn đảo A và B theo phương thẳng (được minh họa như trong hình vẽ). Một người đứng ở vị trí K trên bờ quan sát ba điểm thẳng hàng I, A, B. Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm I, A thì bằng góc nhìn đến hai điểm A, B, tức là $\widehat{IKA}=\widehat{AKB}.$ Biết rằng thuyền đi từ vị trí I đến hòn đảo A là 500 m; từ hòn đảo A đến hòn đảo B là 6 km và khoảng cách từ người đó đến vị trí I là 1 km. Tính khoảng cách từ người đó (vị trí K) đến hòn đảo B?

A. 10 km;

B. 20 km;

C. 15 km;

D. 12 km.

Bài 9. Hai vận động viên thi chạy Marathon xuất phát tại điểm A cùng một thời điểm, chạy theo hai hướng khác nhau đến B và C. Sau t phút hai người đó gặp nhau tại D (được mô tả như hình vẽ). Cho độ dài AB = 3 km; AC = 3,5 km; BC = 5 km và $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}.$ Hỏi trong t phút đầu tiên vận động viên nào chạy nhanh hơn?

A. Vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D.

B. Vận động viên chạy từ A qua C trước rồi đến D chạy nhanh hơn vận động viên chạy từ A qua B trước rồi đến D.

C. Hai vận động viên chạy với cùng một tốc độ trung bình.

D. Không thể kết luận vận động viên nào chạy nhanh hơn.

Bài 10. Nhà bạn Hoa ở vị trí K, nhà bạn Phương ở vị trí A (như hình bên dưới), biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi và K là trung điểm của BC. Hai bạn đi xe đạp với cùng một vận tốc trên con đường AK để đi đến điểm H. Bạn Hoa xuất phát lúc 8 giờ. Hỏi bạn Phương phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Hoa lúc 8 giờ 15 phút tại điểm H?

A. 7 giờ 45 phút;

B. 7 giờ 30 phút;

C. 7 giờ 20 phút;

D. 7 giờ.