Chứng minh các yếu tố hình học liên quan lớp 8 (bài tập + lời giải)

Haylamdo biên soạn và sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh các yếu tố hình học liên quan lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh các yếu tố hình học liên quan.

Chứng minh các yếu tố hình học liên quan lớp 8 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Sử dụng các tính chất đường trung bình để chứng minh các yếu tố hình học liên quan.

* Một số kiến thức cần lưu ý:

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Trong hình vẽ, ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, khi đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

- Tính chất của đường trung bình:

+ Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

(Trong hình vẽ trên, MN là đường trung bình của tam giác ABC thì ta có MN // BC và MN = $\frac{1}{2}BC$).

+ Trong một tam giác nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có CM là đường trung tuyến. N là trung điểm BC. Chứng minh MN ⊥ BC.

Hướng dẫn giải:

Có CM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của AB.

Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mà AC ⊥ BC (tam giác ABC vuông tại C) nên MN ⊥ BC.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của BA lấy điểm N sao cho BN = AB. Gọi I là giao điểm MN và AC. Chứng minh AI = 2IC.

Hướng dẫn giải:

Gọi K là trung điểm của AI.

Vì N thuộc tia đối của tia BA thỏa mãn BN = AB nên B là trung điểm của AN.

Trong tam giác AIN có K là trung điểm của AI, B là trung điểm của AN.

Do đó BK là đường trung bình của tam giác AIN.

Suy ra, BK // NI hay BK // IM (M ∈ NI) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong tam giác CKB có M là trung điểm của BC và MI // BK, I ∈ KC.

Do đó I là trung điểm của KC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra IC = KI.

Vì 2KI = AI nên 2IC = AI.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC, AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm. Kéo dài AB lấy điểm D sao cho AB = BD, kéo dài AC lấy điểm E sao cho AC = CE, kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC lấy F sao cho AM = MF. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. DE = 6 cm;

B. BC // MF;

C. D, E, F thẳng hàng;

D. CE = 4 cm.

Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có D là trung điểm của NP. Từ D kẻ DE song song với MP (E ∈ MN), kẻ DF song song với MN (F ∈ MP). Khi đó ME bằng với đoạn thẳng nào?

A. MF;

B. NE;

C. FP;

D. Cả ba đáp án trên đều đúng.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Qua A kẻ Ax song song với BC cắt HI tại K. Khi đó HK song song với:

A. AB;

B. IC;

C. BH;

D. AI.

Bài 4. Cho tam giác OMN cân tại O. I là trung điểm của đường cao OH, NI cắt OM tại K. Từ H kẻ Hx song song với NK cắt OM tại D. Khi đó độ dài OM gấp mấy lần độ dài OK?

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. $\frac{4}{3}$ .

Bài 5. Cho tam giác ABC trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm D bất kì. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD, DC. Khi đó EF + FH + HG + GE bằng

A. AB + AD;

B. BC + AD;

C. AC + BD;

D. BD + DC.

Bài 6. Cho tam giác ABC đều, I là trung điểm BC. Từ I kẻ IK // AB (K ∈ AC), IH // AC (H ∈ AB). Tam giác IHK là tam giác gì?

A. Tam giác đều;

B. Tam giác cân;

C. Tam giác tù;

D. Tam giác vuông.

Bài 7. Cho tam giác MNP, trên MN lấy hai điểm D, E sao cho MD = DE = EN. Gọi I là trung điểm NP, PD cắt MI tại H. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. HD = 4PD;

B. $\text{HD}=\frac{1}{4}\text{PD}$;

C. $\text{HD}=\frac{1}{3}\text{PD}$;

D. HD = 2PD.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, AC, CD. Tứ giác BMNI là hình gì?

A. Hình chữ nhật;

B. Hình thoi;

C. Hình thang cân;

D. Hình vuông.

Bài 9. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Đoạn thẳng DE song song và bằng với đoạn thẳng nào?

A. DI;

B. IK;

C. BC;

D. AG.

Bài 10. Cho tứ giác ABCD có AB = 2a, CD = 2b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. EF ≥ a – b;

B. EF ≤ a – b;

C. EF ≥ a + b;

D. EF ≤ a + b.