Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng lớp 8 (bài tập + lời giải)

Haylamdo biên soạn và sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng.

Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng lớp 8 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Để tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất đường phân giác ta làm như sau:

- Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ.

- Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó cùng với tính chất của tỉ lệ thức để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết hoặc tính tỉ số đoạn thẳng.

* Tính chất đường phân giác của tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Trong hình vẽ trên, ta có AD là phân giác của góc BAC thì $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 21 cm, AC = 28 cm. Kẻ phân giác trong AD của (D ∈ BC). Tính độ dài BD, biết CD = 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có:

$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}$ hay $\frac{\text{21}}{\text{28}}=\frac{\text{BD}}{\text{20}}$

Từ đó suy ra $\text{BD}=\frac{\text{21}\cdot 20}{\text{28}}=15$(cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh $\frac{\text{DB}}{\text{DC}}\cdot \frac{\text{EC}}{\text{EA}}\cdot \frac{\text{FA}}{\text{FB}}=1$.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có:

+ AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có: $\frac{\text{BD}}{\text{CD}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}$.

+ BE là đường phân giác góc B.

Do đó ta có: $\frac{\text{CE}}{\text{AE}}=\frac{\text{BC}}{\text{BA}}$.

+ CF là đường phân giác góc C.

Do đó ta có: $\frac{\text{AF}}{\text{BF}}=\frac{\text{CA}}{\text{CB}}$.

Vậy $\frac{\text{DB}}{\text{DC}}\cdot \frac{\text{EC}}{\text{EA}}\cdot \frac{\text{FA}}{\text{FB}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}\cdot \frac{\text{BC}}{\text{BA}}\cdot \frac{\text{CA}}{\text{CB}}=1$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tỉ số $\frac{\text{CD}}{\text{BD}}$ trong hình vẽ dưới đây là bao nhiêu?

A. $\frac{4}{9}$;

B. $\frac{9}{4}$;

C. $\frac{1}{4}$;

D. $\frac{1}{9}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có BE là phân giác góc ABC (E ∈ AC). Cho AB = 6 cm, BC = x cm, AE = 5 cm, EC = 3 cm. Giá trị của x là:

A. 10;

B. 4;

C. 3,6;

D. 2,5.

Bài 3. Cho tam giác OMN có OD là đường phân giác góc MON (D ∈ MN). Biết DN = 7 cm, ON = 9 cm. Tỉ số $\frac{\text{OM}}{\text{MD}}$ là:

A. $\frac{9}{7}$;

B. $\frac{1}{7}$;

C. $\frac{7}{9}$;

D. $\frac{1}{9}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC có CE là đường phân giác góc ACB (E ∈ AB). Biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm, AE = x cm, EB = y cm. Giá trị của x và y lần lượt là:

A. 5; 4;

B. 3; 7;

C. 5; 3;

D. 3; 5.

Bài 5. Cho tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc EDF (I ∈ EF). Biết DE = 5 cm, EF = 9 cm, DF = 8 cm. Tỉ số diện tích của hai tam giác DEI và DFI là:

A. $\frac{5}{8}$;

B. $\frac{5}{9}$;

C. $\frac{8}{5}$;

D. $\frac{9}{8}$.

Bài 6. Cho tam giác MNP có MP = 2MN, MO là phân giác góc NMP. Xét các khẳng định sau:

(I) $\frac{\text{NO}}{\text{OP}}=\frac{\text{1}}{2}$.

(II) $\frac{\text{NO}}{\text{NP}}=\frac{1}{2}$.

(III) $\frac{\text{OP}}{\text{NP}}=\frac{2}{3}$.

(IV) $\frac{\text{OP}}{\text{NO}}=4$.

Số khẳng định đúng là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 7. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Gọi G, H, K lần lượt là hình chiếu của I lên AB, AC, BC. Biết GI = 12 cm. Độ dài IK là:

A. 4 cm;

B. 8 cm;

C. 6 cm;

D. 12 cm.

Bài 8. Cho hình vẽ dưới đây. Khi đó giá trị y – x là:

A. $\frac{19}{3}$;

B. $\frac{9}{13}$;

C. $\frac{5}{13}$;

D. $\frac{13}{19}$.

Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = m, BC = n. Đường phân giác góc B cắt AC tại I, đường phân giác góc C cắt AB tại H. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\text{HI}=\frac{\text{m}-\text{n}}{\text{m + n}}$;

B. $\text{HI}=\frac{\text{m + n}}{\text{m}\cdot \text{n}}$;

C. $\text{HI}=\frac{\text{mn}}{\text{m + n}}$;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 10. Cho tam giác ABC có chu vi là 18 cm, các đường phân giác BD, CE. Tính các cạnh của tam giác ABC biết $\frac{\text{AD}}{\text{DC}}=\frac{1}{2};\frac{\text{AE}}{\text{EB}}=\frac{3}{4}$.

A. AB = 8 cm, BC = 4 cm, AC = 6 cm;

B. AB = 4 cm, BC = 8 cm, AC = 6 cm;

C. AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm;

D. AB = 8 cm, BC = 6 cm, AC = 4cm.