Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 (bài tập + lời giải)

Haylamdo biên soạn và sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh các hệ thức hình học.

Chứng minh các hệ thức hình học lớp 8 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Để chứng minh các hệ thức hình học, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

- Bước 2: Áp dụng định lí Thalès để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

- Bước 3: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức theo yêu cầu.

* Một số kiến thức cần lưu ý

ØĐịnh lí Thalès:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Trên hình vẽ, ta có nếu MN // BC thì $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC};\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC};\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$ .

Ø Tính chất của tỉ lệ thức:

Giả sử tất cả các biểu thức đều có nghĩa, ta có nếu $\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{=}\frac{\text{c}}{\text{d}}$ thì:

+) ad = bc.

+) $\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{=}\frac{\text{c}}{\text{d}}=\frac{\text{a + c}}{\text{b + d}}=\frac{\text{a}-\text{c}}{\text{b}-\text{d}}$ .

+) $\frac{\text{a + b}}{\text{b}}\text{=}\frac{\text{c + d}}{\text{d}};\frac{\text{a}-\text{b}}{\text{b}}=\frac{\text{c}-\text{d}}{\text{d}}$ .

+) $\frac{\text{a}}{\text{c}}\text{=}\frac{\text{b}}{\text{d}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh $\frac{\text{AM}}{\text{MD}}=\frac{\text{BN}}{\text{NC}}$ .

Hướng dẫn giải:

Gọi E là giao điểm của AC và MN.

Trong tam giác ADC có ME // DC (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AM}}{\text{MD}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ (1).

Trong tam giác ABC có NE // AB (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{BN}}{\text{NC}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{AM}}{\text{MD}}=\frac{\text{BN}}{\text{NC}}$ .

Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy và cắt AD, BC lần lượt tại M và N. Chứng minh $\frac{\text{AM}}{\text{AD}}+\frac{\text{CN}}{\text{CB}}=1$ .

Hướng dẫn giải:

Gọi E là giao điểm của AC và MN.

Trong tam giác ADC có ME // DC (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AM}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$(1)

Trong tam giác ABC có NE // AB (E ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{CN}}{\text{CB}}=\frac{\text{EC}}{\text{CA}}$(2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được $\frac{\text{AM}}{\text{AD}}+\frac{\text{CN}}{\text{CB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}+\frac{\text{EC}}{\text{CA}}=\frac{\text{AC}}{\text{AC}}=1$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó tỉ số $\frac{\text{MD}}{\text{AD}}$ bằng:

A. $\frac{\text{CP}}{\text{BC}}$ ;

B. $\frac{\text{BQ}}{\text{BC}}$ ;

C. $\frac{\text{CN}}{\text{BC}}$ ;

D. $\frac{\text{CQ}}{\text{BQ}}$ .

Bài 2. Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C kẻ hai đường thẳng song song với nhau, cắt Ay lần lượt tại D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F. Khi đó AC² bằng

A. AB ⋅ AF;

B. AB ⋅ BF;

C. CA ⋅ AF;

D. CB ⋅ AF.

Bài 3. Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\frac{\text{AD}}{\text{DB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ ;

B. $\frac{\text{BD}}{\text{AB}}=\frac{\text{CE}}{\text{AC}}$ ;

C. $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ ;

D. DE // BC.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{\text{AO}}{\text{OD}}=\frac{3}{2}$ . Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tỉ số $\frac{\text{AI}}{\text{IB}}$ là:

A. $\frac{2}{3}$ ;

B. $\frac{3}{2}$ ;

C. $\frac{3}{4}$ ;

D. $\frac{1}{4}$ .

Bài 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D và kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại F. Khi đó $\frac{\text{CE}}{\text{EB}}$ bằng tỉ số

A. $\frac{\text{FE}}{\text{AD}}$ ;

B. $\frac{\text{CF}}{\text{EB}}$ ;

C. $\frac{\text{ME}}{\text{AB}}$ ;

D. $\frac{\text{CF}}{\text{DE}}$ .

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự tại N và D. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NC = ND;

B. DB = NC;

C. Cả A, B đều sai;

D. Cả A, B đều đúng.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G. Khi đó AH ⋅ CD bằng

A. AD ⋅ GB;

B. AD ⋅ CG;

C. GB ⋅ GC;

D. AB ⋅ CG.

Bài 8. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E, trên tia Oy lấy hai điểm F, G sao cho FD // EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với EF cắt Ox tại H.

Tích OD ⋅ OH bằng

A. OB²;

B. CE²;

C. OE²;

D. EB².

Bài 9. Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh AB kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\text{DM}}{\text{MF}}=\frac{\text{AD}}{\text{AB}}$ ;

B. $\frac{\text{DM}}{\text{MF}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ ;

C. $\frac{\text{MF}}{\text{MD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ ;

D. $\frac{\text{MF}}{\text{MD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ .

Bài 10. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). Khi đó $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}+\frac{\text{AN}}{\text{AF}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$;

B. $\frac{1}{3}$;

C. $\frac{2}{3}$;

D. $\frac{7}{6}$.