Lý thuyết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau hay, chi tiết | Toán lớp 9

Lý thuyết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau hay, chi tiết

Tài liệu Lý thuyết Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau hay, chi tiết Toán lớp 9 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 9.

1. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

Ta có:

2. Đường tròn nội tiếp của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn, khi đó tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác.

Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.

Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, giao điểm này cùng nằm trên đường phân giác góc A.

Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.

4. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính bằng 1cm. Tính diện tích của tam giác ABC ?

Hướng dẫn:

Ta có: ΔABC đều nên đường cao đồng thời là đường trung trực, trung tuyến của tam giác

    + AH, CE, BF là ba đường trung trực giao nhau tại O.

⇒ O là tâm đường trong ngoại tiếp ΔABC.

Khi đó ta có: OH = OF = OE = R = 1cm

⇒ AH = BF = CE = 3R = 3cm

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia Ax vuông góc với AB, By vuông góc với AB ở cùng phía với nửa đường tròn. I là một điểm thuộc trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại I cắt Ax, By tại C và D.

a) CMR: Tam giác COD là tam giác vuông

b) Tìm vị trí điểm I để chu vi tứ giác ACDB là nhỏ nhất. Tính chu vi theo R.

Lời giải:

a) Ta có: OI = OA = OB = AB/2 = R nên tam giác IAB vuông tại I

Gọi E là giao điểm của AI và CO, F là giao điểm của IB và OD

* Tam giác IAO cân tại O (vì OI = OA) có OE là đường phân giác nên đồng thời là đường cao:

Tương tự, tam giác OIB có OF là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Xét tứ giác IEOF có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

vuông tại O

b) Vì tiếp tuyến tại A và I cắt nhau tại C nên CA = CI

Tương tự: DB = DI

Khi đó: AC + BD = IC + ID = CD

Ta lại có: CD ≥ AB vì AB là đoạn vuông góc với hai đường thẳng song song là AC và BD

Khi đó: chu vi tứ giác ACDB là:

AC + BD + CD + AB = 2CD + AB ≥ 3AB = 3R

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Các tiếp tuyến của (O) vẽ từ A và C cắt nhau tại M. Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD = BC . Chứng minh: AC, BD, OM đồng quy

Lời giải:

Trước tiên, ta chứng minh ABCD là hình bình hành

Ta có AO vuông góc với BC, AO vuông góc với AD nên AD // BC

Mà AD = BC ⇒ ABCD là hình bình hành

Gọi E là giao điểm của AC và OM

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì E là trung điểm của AC (do tam giác MAC cân tại M, có ME là đường cao)

Do ABCD là hình bình hành nên đường chéo sẽ đi qua trung điểm của mỗi đường

Nên BD đi qua điểm E

Do đó AC, BD, OM đồng quy tại E