Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0) | Toán lớp 9

Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)

Với Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0) Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

+) B1: Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ t = x² + (a + b)x + ab

⇒ t - ab = x² + (a + b)x

+) B2: Biến đổi biểu thức (x + c)(x + d) theo biến t

Ta có: (x + c)(x + d) = x² + (c + d)x + cd = x² + (a + b)x + cd = t – ab + cd

+) B3: Biến đổi phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m theo biến t

t(t – ab + cd) = m ⇔ t² + (– ab + cd)t – m = 0(*)

Giải phương trình (*) tìm t sau đó tìm x

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = 24

Đặt t = x(x + 3) = x² + 3x

(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 = t + 2

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -6 ⇒ x² + 3x = -6 ⇔x² + 3x + 6 = 0 (phương trình vô nghiệm vì ∆ < 0)

Với t = 4 ⇒ x² + 3x = 4 ⇔x² + 3x - 4 = 0. Phương trình có a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = 1, x = -4

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1, x = -4

Câu 2: Giải phương trình (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 4)(x + 8)(x + 5)(x + 7) = 4

Đặt t = (x + 4)(x + 8) = x² + 12x + 32

⇒ (x + 5)(x + 7) = x² + 12x + 35 = t + 3

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 1 ⇒ x² + 12x + 32 = 1 ⇔ x² + 12x + 31 = 0. Phương trình có ∆ꞌ = 36 – 31 = 5 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt: x = -6 ± √5

Với t = -4 ⇒ x² + 12x + 32 = -4 ⇔ x² + 12x + 36 = 0 ⇔(x + 6)² = 0 ⇔ x = -6

Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = -6, x = -6 ± √5

Câu 3: Giải phương trình (x + 5)(x + 6)(x - 4)(x - 5) = -21 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 4)(x + 6)(x - 5) = -21

Đặt t = (x -4)(x + 5) = x² + x - 20

⇒ (x + 6)(x - 5) = x² + x - 30 = t - 10

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 3 ⇒ x² + x-20 = 3 ⇔ x² + x - 23 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.23 = 93 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với t = 7 ⇒ x² + x-20 = 7 ⇔ x² + x - 27 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.27 = 109 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có 4 nghiệm:

Câu 4: Giải phương trình (x +5)(x + 4)(x - 1)(x - 2) = 112 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 2)(x + 4)(x - 1) = 112

Đặt t = (x - 2)(x + 5) = x² + 3x - 10

⇒ (x + 4)(x - 1) = x² + 3x - 4 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 8 ⇒ x² + 3x - 10 = 8 ⇔ x² + 3x - 18 = 0. Phương trình có ∆ = 3² + 4.1.18 = 81 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = -6, x = 3

Với t = -14 ⇒ x² + 3x - 10 = -14 ⇔ x² + 3x + 4 = 0. Phương trình có ∆ = 3² - 4.1.4 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = -6, x = 3

Câu 5: Giải phương trình (x +1)(x + 3)(x + 6)(x + 4) = -8 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x +1)(x + 6)(x + 4)(x + 3) = -8

Đặt t = (x + 1)(x + 6) = x² + 7x + 6

⇒ (x + 4)(x + 3) = x² + 7x + 12 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -2 ⇒ x² + 7x + 6 = -2 ⇔ x² + 7x + 8 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.8 = 17 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với t = -4 ⇒ x² + 7x + 6 = -4 ⇔ x² + 7x + 10 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.10 = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -2, x = -5

Vậy phương trình có 4 nghiệm: