Cách giải bài toán năng suất công việc cực hay | Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình | Toán lớp 9
Cách giải bài toán năng suất công việc cực hay | Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Với Cách giải bài toán năng suất công việc cực hay | Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải bài toán năng suất công việc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
A. Phương pháp giải
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
● Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
● Biểu diễn cácđại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
● Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai người cùng làm một cộng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong, nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu thì xong công việc?
Hướng dẫn:
Đổi: 7 giờ 12 phút = 
giờ
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ, x > .
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ, y >
Trong 1 giờ cả hai người làm được là: 
Trong 4 giờ người thứ nhất và trong 3 giờ người thứ hai làm được là: 
Suy ra: x = 12 và y = 18 (thỏa mãn)
Vậy người thứ nhất làm 12 giờ, người thứ hai làm 18 giờ thì xong công việc.
Ví dụ 2: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 bút chì, sang tháng hai tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 bút chì.Hỏi tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bút chì?
Hướng dẫn:
Gọi tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x bút chì, x > 0
Gọi tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y bút chì, y > 0
Cả hai tổ sản xuất được trong tháng đầu là: x + y = 800
Trong tháng hai, tổ 1 vượt mức 15% và tổ 2 vượt 20%: 1,15x + 1,2y = 945
Ta có hệ phương trình:
Vậy tổ 1 sản xuất được 300 bút chì, tổ 2 sản xuất được 500 bút chì.
Ví dụ 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể nếu mở vòi thứ 1 trong 9 giờ sau thì mở vòi thứ 2 mở trong 
giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể.
Hướng dẫn:
Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể là x, y giờ (x, y > 
)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được là: 
Nếu mở vòi thứ 1 trong 9 giờ và mở vòi thứ 2 trong 
Ta có hệ phương trình: 
(Thỏa mãn)
Vậy vòi 1 chảy hết 12 giờ, vời 2 chảy hết 8 giờ.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ 45 phút thì đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình trong thì mất bao lâu đầy bể ? biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ nhất 4 giờ.
A. Vòi 1 chảy hết: 6 giờ, vòi 2 chảy hết 10 giờ.
B. Vòi 1 chảy hết: 4 giờ, vòi 2 chảy hết 8 giờ.
C. Vòi 1 chảy hết: 8 giờ, vòi 2 chảy hết 12 giờ.
D. Vòi 1 chảy hết: 5 giờ, vòi 2 chảy hết 9 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Đổi 3 gờ 45 phút = 
giờ
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ, x >
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y giờ, y >
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được là: 
Vòi thứ 2 chảy lâu hơn vòi thứ 1 là 4 giờ là y – x = 4
Ta có hệ phương trình: 
Từ pt (1) ta có: 15(4 + x) + 15x = 4x(4 + x) ⇔ 4x2 – 14x – 60 = 0 ⇒ 
Vậy vòi 1 chảy trong 6 giờ, vòi 2 chảy trong 10 giờ.
Chọn đáp án A.
Câu 2: Hai người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm xong việc là 12 giờ 30 phút. Nếu hai người cùng làm thì làm xong trong 6 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người mất bao lâu thì xong công việc.
A. Người thứ 1 hết: 5 giờ, người thứ 2 hết 10 giờ.
B. Người thứ 1 hết: 10 giờ, người thứ 2 hết 15 giờ.
C. Người thứ 1 hết: 12 giờ, người thứ 2 hết 18 giờ.
D. Người thứ 1 hết: 6 giờ, người thứ 2 hết 10 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
12 giờ 30 phút = 12,5 giờ
Gọi thời gian người thứ 1 làm xong công việc là x giờ, x > 6
thời gian người thứ 2 làm xong công việc là y giờ, y > 6
vậy người thứ 1 làm trong 10 giờ, người thứ 2 làm trong 15 giờ.
Chọn đáp án B.
Câu 3: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được trao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định ban đầu. Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết mỗi cây được phân cho mỗi bạn trồng là như nhau.
A. 8
B. 7
C. 10
D. 12.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi số cây mỗi bạn trồng theo dự định là x cây, x > 0
số người trong tổ là y bạn, y >1.
Tổ học sinh được giao trồng 56 cây ta có: xy = 56
Sau đó có 1 bạn làm việc khác nên mỗi bạn trong thêm một cây ta có: (x + 1)(y – 1)= 56
Theo đề bài ra ta có:
Chọn đáp án A.
Câu 4: Một đội xe cần chở 480 tấn hàng khi sắp khởi hành đội được điều thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn so vơi dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe ? biết mỗi xe chở như nhau.
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi x, y lần lượt là số xe và số hàng mỗi xe trở được lúc đầu. (x > 0, y > 8)
Đội xe chở 480 tấn ta có: xy = 480
Sau đó thêm 3 xe nữa và chở ít đi 8 tấn: (x + 3)(y – 8) = 480
Ta có hệ phương trình:
Vậy đội xe có 12 xe.
Chọn đáp án C.
Câu 5: Hai đội công nhân làm chung trong 12 giờ thì xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ 1 được điều đi làm việc khác, tổ 2 làm nốt trong 10h thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu thì xong?
A. Tổ 1 hết: 60 giờ, tổ 2 hết 18 giờ.
B. Tổ 1 hết: 40 giờ, tổ 2 hết 20 giờ.
C. Tổ 1 hết: 30 giờ, tổ 2 hết 15 giờ.
D. Tổ 1 hết: 60 giờ, tổ 2 hết 15 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi thời gian tổ 1, tổ 2 làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (x, y > 12)
Trong 1 giờ cả hai tổ làm được là: 
Hai tổ làm chung trong 4 giờ và tổ 2 làm trong 10 giờ thì xong: 
Ta có hệ phương trình:
Với y = 15 ⇒ x = 60. Vậy tổ 1 làm trong 60 giờ, tổ 2 làm trong 15 giờ.
Chọn đáp án D.
Câu 6: Một người đi từ A đến B theo thời gian đã định. Nếu người đó tăng vận tốc lên 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ, nếu người giảm vận tốc 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc của người đó, và thời gian dự định.
A. V = 30 km/h và t = 4 giờ.
B. V = 40 km/h và t = 2 giờ.
C. V = 35 km/h và t = 3 giờ.
D. V = 40 km/h và t = 4 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B là x (km/h), x > 10.
thời gian dự định đi từ A đến B là y (h), y > 1.
Ta có độ dài quãng đường AB là xy (km)
Nếu tăng vận tốc 10km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ ta có: (x + 10)(y – 1) = xy
Nếu giảm vận tốc 10km/h thì đến B muộn hơn 2 giờ ta có: (x – 10)(y + 2) = xy
Ta có hệ phượng trình: 
Cộng vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: x = 30 ⇒ y = 4 (thỏa mãn)
Vậy người đó đi với vận tốc 30km/h, thời gian dự định là 4 giờ.
Chọn đáp án A.
Câu 7: Một ca nô xuôi dòng 1km và ngược dòng 1km hết 3,5 phút. Nếu ca nô xuôi 20km và ngược 15km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô.
A. V nước = 1/12 km/p và V ca nô = 5/12 km/p.
B. V nước = 1/12 km/p và V ca nô = 7/12 km/p.
C. V nước = 5/12 km/p và V ca nô = 7/12 km/p.
D. V nước = 5/12 km/p và V ca nô = 1/12 km/p.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/p (x > 0)
vận tốc riêng của dòng nước là y km/p (y > 0, y < x)
Thời gian ca nô đi xuôi và ngược dòng 1km hết 3,5 phút nên ta có: 
Nếu ca nô đi xuôi 20km và ngược 15km thì hết 60 phút, ta có: 
Vậy vận tốc của riêng của ca nô là 7/12 (km/p), vận tốc riêng của dòng nước là 1/12 (km/p)
Chọn đáp án B.
Câu 8: Một chiếc xe tải đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng, quãng đường là 189 km. Sau khi xe tải đi được 1 giờ thì , một chiếc xe khách đi từ Đà Nẵng ra Hà Nội và gặp xe tải sau khi đã đi được 1h 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km.
A. V xe tải = 36km/h và V xe khách = 46 km/h
B. V xe tải = 32km/h và V xe khách = 40 km/h
C. V xe tải = 36km/h và V xe khách = 49 km/h
D. V xe tải = 30km/h và V xe khách = 40 km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc xe tải là x (km/h), x > 0
Vận tốc xe khách là y (km/h) , y > x
Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km nên ta có: y – x = 13
Vậy vận tốc xe tải là 36km/h và vận tốc xe khách là 49 km/h.
Chọn đáp án C.
Câu 9: Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và đi ngược lại từ B về A ngay. Thời gian xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km và vận tốc của dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của ca nô?
A. 32km/h
B. 35km/h
C. 38km/h
D. 36km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc xuôi dòng của ca nô là x (km/h), x > 0
Vận tốc ngược dòng của ca nô là y (km/h), 0 < y < x)
Thời gian ca nô xuôi dòng 5km và ngược dòng 4km bằng nhau:
Vậy vận tốc thực của ca nô là 40 – 4 = 36 km/h.
Chọn đáp án D.
Câu 10: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ từ thành phố A đến thành phố B là 10km. ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ.Vận tốc ca nô kém vận tốc ô tô 17km/h. Tính vận tốc ca nô.
A. 18 km/h
B. 38 km/h
C. 24 km/h
D. 40 km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h), x > 0
Vận tốc của ô tô là x + 17 (km/h)
Gọi quãng đường sông từ A đến B là y km, y > 0
Quãng đường bộ từ A đến B là y + 10 (km)
Đổi 3 giờ 20 phút = 10/3 giờ.
Ta có hệ phương trình:
Vậy của ca nô là 18 km/h.
Chọn đáp án A.
