Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay | Toán lớp 9

Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay

Với Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập hệ thức lượng giác trong tam giác vuông từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Tải xuống

A. Phương pháp giải

1. Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia.

Khi đó:

2. Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 90⁰) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

• Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.

• Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác.

• Áp dụng hệ thức Py-ta-go.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải:

Xét ΔABC vuông tại A có:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có = α ( với 0^o < α < 90⁰ ). Chứng minh các hệ thức lượng giác sau:

a) tanα . cotα = 1

b) sin²α + cos²α = 1

c) 1 + tan²α =

d) 1 + cot²α =

Hướng dẫn giải:

Xét ΔABC vuông tại A có:

Ví dụ 3: Cho α là một góc nhọn bất kì.

a) Chứng minh rằng

b) Hãy tính giá trị của biểu thức M = với tanα =

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Vậy M = -4 .

Ví dụ 4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α:

a) A = cos⁴α + 2cos²αsin²α + sin⁴α

b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

c) C = - 2tan²α

Hướng dẫn giải:

a) A = cos⁴α + 2cos²αsin²α + sin⁴α

= (cos²α)² + 2cos²αsin²α + (sin²α)²

= (cos²α + sin²α)² (do sin²α + cos²α = 1)

= 1

b) B = sin⁴α + cos²α.sin²α + cos²α

= (sin⁴α + cos²α . sin²α) + cos²α

= sin²α . (sin²α + cos²α) + cos²α (do sin²α + cos²α = 1)

sin²α . 1 + cos²α = 1

Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin⁴x - cos⁴x = sin²x - cos²x

b) sin⁴x + sin²x.cos²x + sin²x = 2sin²x

c) (1 + tanx)(1 + cotx) - 2 =

Hướng dẫn giải:

a) sin⁴x - cos⁴x = sin²x - cos²x

⇔ (sin²x - cos²x)(sin²x - cos²x) = sin²x - cos²x

⇔ (sin²x - cos²x).1 - (sin²x - cos²x) = 0 (do sin²x + cos²x = 1)

⇔ 0 = 0 luôn đúng

b) sin⁴x + sin²x.cos²x + sin²x = 2sin²x

⇔ sin²x.(sin²x + cos²x + 1) = 2sin²x

⇔ sin²x.(1 + 1) = 2sin²x (do sin²x + cos²x = 1)

⇔ 2sin²x = 2sin²x (luôn đúng)

Ví dụ 6: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α

a) cos²α.cosβ² + cos²α.sinβ² + sin²α

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

Hướng dẫn giải:

a) cos²α.cosβ² + cos²α.sinβ² + sin²α

= cos²α.(cosβ² + sinβ²) + sin²α (do sin²β + cos²β = 1)

= cos²α.1 + sin²α (do sin²α + cos²α = 1)

= 1

b) 2(sinα - cosα)² - (sinα + cosα)² + 6sinα.cosα

= 2(sin²α - 2sinα.cosα + cos²α) - (sin²α + 2sinα.cosα + cos²α) + 6sinα.cosα

= 2sin²α - 4sinα.cosα + 2cos²α - sin²α - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα

= (2sin²α - sin²α) + (2cos²α - cos²α) + (-4sinα.cosα - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα)

= sin²α + cos²α (do sin²α + cos²α = 1)

= 1.

c) (tanα - cotα)² - (tanα + cotα)²

= [(tanα - cotα) + (tanα + cotα)] . [(tanα - cotα) - (tanα - cotα)]

= (tanα - cotα + tanα + cotα)(tanα - cotα - tanα - cotα)

= 2tanα.(-2cotα)

= -4tanα.cotα ( do tanα.cotα = 1 )

= -4.1 = -4

Ví dụ 7: Chứng minh định lý sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:

Hướng dẫn giải: