Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, có lời giải | Toán lớp 9
Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, có lời giải
Với Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình cực hay, có lời giải Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình siêu hay, chi tiết
Cách giải bài toán chuyển động cực hay (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình)
Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
A. Phương pháp giải
Bước 1: Lập hệ phương trình:
+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm số có hai chữ số biết chữ số ở hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Số đó gấp 7 lần tổng hai chữ số của nó.
Hướng dẫn giải:
Gọi số cần tìm là ab với 
Vì chữ số ở hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2, nên ta có: a – b = 2
Vì số đó gấp 7 lần tổng hai chữ số của nó, nên ta có: 10a + b = 7(a + b)
Nhân pt (1) với 3 ta được: 3a – 3b = 6 (3)
Lấy pt (3) – pt (2) ta được: 3b = 6 ⇔ b = 2 ( tm )
Với b = 2 ⇒ a = 4 ( tm)
Vậy số cần tìm là: 42.
Ví dụ 2: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ một điểm, nếu chuyển động cùng chiều cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi vật.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s). ( x , y > 0, giả sử x > y)
Vì nếu chuyển động cùng chiều cứ 20 giây chúng lại gặp nhau nên hiệu quãng đường đi được trong 20 giây của hai vật là chu vi của đường tròn, do đó: 20x – 20y = 20π
Vì nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau nên tổng quãng đường đi được trong 4 giây của hai vật là chu vi của đường tròn, do đó: 4x + 4y = 20 π
Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được: 2x=6π ⇔ x =3π ( tm)
Với x=3π ⇒ y = 5π-3π = 2π (tm)
Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là: 3π(cm/s),2π(cm/s)
Ví dụ 3: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thi xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% khối lượng cộng việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao lâu?
Hướng dẫn giải:
Gọi thời gian để người thứ nhất làm xong công việc đó là x (giờ), ( x > 16)
Gọi thời gian để người thứ hai làm xong công việc đó là y (giờ), ( y > 16)
Vì hai người cùng làm chung công việc trong 16 giờ thi xong, nên ta có: 
Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 
khối lượng cộng việc, nên ta có:
Nhân pt(1) với 3 ta được: 
, rồi trừ vế với vế cho pt(2) ta được:
Vậy người thứ nhất làm hết 24 giờ, người thứ hai làm hết 48 giờ.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hai đội cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày thi xong. Họ cùng làm trong 8 ngày, thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm tiếp. Do cải tiến kỹ thuật năng suất tăng lên gấp đôi nên đội II làm xong cộng việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì hết bao lâu?
A. Đội I: 28 ngày và Đội II: 21 ngày
B. Đội I: 28 ngày và Đội II: 24 ngày
C. Đội I: 21 ngày và Đội II: 28 ngày
D. Đội I: 24 ngày và Đội II: 21 ngày
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi thời gian để đội I làm xong công việc đó là x (giờ), ( x > 12)
Gọi thời gian để đội II làm xong công việc đó là y (giờ), ( y > 12)
Vì hai đội cùng làm chung dự định xong trong 12 ngày thi xong, nên ta có:
Đội II phải làm khối lượng công việc còn lại là:
Vì cải tiến kỹ thuật năng suất tăng lên gấp đôi nên đội II làm xong cộng việc còn lại trong 3,5 ngày, nên ta có:
Vậy đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày.
Câu 2: Tìm hai số biết tổng của hai số đó bằng 19, tổng các bình phương của hai số đó bằng 185.( biết hai số đó là số nguyên)
A. 11 và 9 hoặc 9 và 11
B. 11 và 8 hoặc 8 và 11
C. 8 và 12 hoặc 12 và 8
D. 10 và 11 hoặc 11 và 10
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi hai số cần tìm lần lượt là x và y (x,y ∈ Z )
Vì tổng của hai số đó bằng 19, nên ta có: x + y = 19
Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng 185, nên ta có: x2 + y2 = 185
Vậy hai số cần tìm là 11 và 8 (hoặc 8 và 11).
Câu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì được 
bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu thì chảy đầy bể?
A. vòi thứ nhất : 220 phút và vòi thứ hai: 240 phút.
B. vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 140 phút.
C. vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 240 phút.
D. vòi thứ nhất : 240 phút và vòi thứ hai: 120 phút.
Lời giải:
Đáp án: c
Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình để bể là x (phút), ( x > 80)
Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình để bể là y (phút), ( y > 80)
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể, nên ta có:
Vì mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì được bể, ta có: .
Câu 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và số dư là 124. ( biết hai số đó là số nguyên dương)
A. số lớn: 712 và số bé : 294
B. số lớn: 702 và số bé : 304
C. số lớn: 612 và số bé : 394
D. số lớn: 512 và số bé : 494
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi hai số cần tìm lần lượt là x, y ( x > y, 0 < x, y < 1006 )
Vì tổng của hai số là 1006, nên ta có: x + y = 1006
Vì số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và số dư là 124, nên ta có: x = 2y +124
Suy ra hệ phương trình:
Thay x = 2y + 124 vào pt (1) ta được: 2y + 124 + y = 1006 ⇔ 3y = 882 ⇔ y = 294 ( tm )
Với y = 294 ⇒ x = 2.294 + 124 = 712 ( tm )
Vậy hai số cần tìm là: 712 và 294.
Câu 5: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết nếu giảm chiều dài 2 lần và tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi.
A, 640 m2
B, 600 m2
C, 800 m2
D, 900 m2
Lời giải:
Đáp án: D
Gọi chiều dài của thửa ruộng là x (m), ( x > 45)
Gọi chiều rộng của thửa ruộng là y (m) ( 0 < y < x)
Vì thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m, nên ta có: x – y = 45
Vì nếu giảm chiều dài 2 lần và tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi, ta có:
2(0,5x + 3y) = 2(x + y) ⇔ 0,5x + 3y = x + y
Nhân pt (1) với 2 ta được: 2x – 2y = 90, rồi trừ vế với vế cho pt (2) ta được:
1,5x = 90 ⇔ x = 60 (tm )
Với x = 60 ⇒ y = 60 – 45 = 15 ( tm )
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60 . 15 = 900 m2.
Câu 6: Một hình chữ nhật có chu vi là 70m, nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài lên 5m thì diện không đổi. Tìm chiều rộng và chiều dài?
A. chiều rộng: 15m và chiều dài : 20m
B. chiều rộng: 10m và chiều dài : 25m
C. chiều rộng: 25m và chiều dài : 10m
D. chiều rộng: 5m và chiều dài : 30m
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m), ( 0 < x < 35)
Gọi chiều dài của hình nhật là y (m), ( x <y < 35)
Vì chu vi của hình chữ nhật la 70m, ta có: 2( x + y) = 70 ⇔ x + y = 35
Vì giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài lên 5m thì diện không đổi, ta có: (x – 3)(y + 5) = xy
Từ pt (1) suy ra: x = 35 – y, thay vào pt (2) ta được:
5(35 – y) – 3y = 15 ⇔ 175 – 5y – 3y = 15 ⇔ 8y = 160 ⇔ y = 20 ( tm )
Với y = 20 ⇒ x = 35 – 20 = 15 ( tm )
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là: 15m và chiều dài là: 20m.
Câu 7: Ở nông trường, có hai máy cày cùng cày trên thửa ruộng hết 2 giờ thì xong, nếu mỗi máy cày riệng thửa ruộng đó thì máy cày thứ 1 cày xong sớm hơn máy cày thứ 2 là 3 giờ. Tính thời gian mỗi máy cày làm việc riêng?
A. máy 1 là: 4 giờ và máy 2 là: 7 giờ.
B. máy 1 là: 3 giờ và máy 2 là: 6 giờ.
C. máy 1 là: 2 giờ và máy 2 là: 5 giờ.
D. máy 1 là: 5 giờ và máy 2 là: 8 giờ.
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi thời gian máy cày thứ nhất làm riêng là x (giờ), ( x > 2)
Gọi thời gian máy cày thứ hai làm riêng là y (giờ), ( y > 3)
Trong 1 giờ cả hai máy cày được là :
Vì khi làm riêng thì máy thứ nhất làm xong sớm hơn máy thứ hai là 3 giờ, nên ta có: y = x + 3
Suy ra hệ phương trình:
Thay y = x + 3 vào pt (1) ta được:
Với x = –2 ( loại)
Với x = 3 => y = 6 ( tm )
Vậy máy cày thứ làm hết: 3 giờ, máy cày thứ hai làm hết : 6 giờ.
Câu 8: Một người mua hai mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và tăng thêm giá mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng, nếu giảm giá cả hai mặt hàng 10% thì người đó phải trả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại.
A. mặt hàng A: 60 nghìn đồng và mặt hàng B: 100 nghìn đồng.
B. mặt hàng A: 70 nghìn đồng và mặt hàng B: 90 nghìn đồng.
C. mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 120 nghìn đồng.
D. mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 100 nghìn đồng.
Lời giải:
Đáp án: C
Gọi giá tiền của mặt hàng thứ A là x (nghìn đồng), ( x > 0)
Gọi giá tiền của mặt hàng thứ B là y (nghìn đồng), ( y > 0)
Vì tăng giá mặt hàng A thêm 10% và tăng thêm giá mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng, nên ta có: 1,1x + 1,2y = 232.
Vì giảm giá cả hai mặt hàng 10% thì người đó phải trả 180 nghìn đồng,ta có: 0,9x + 0,9y = 180
Thay x = 200 – y vào pt (1) ta được:
1,1(200-y) + 1,2y = 232 ⇔ 220 - 1,1y + 1,2y = 232 ⇔ 0,1y = 12 ⇔ y =120.( tm )
Với y = 120 => x = 80 ( tm )
Vậy giá mặt hàng A: 80 nghìn đồng, giá tiền mặt hàng B: 120 nghìn đồng.
Câu 9: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10,tỷ lệ trúng tuyển là 84%. Tính riêng thì trường A có 80% học sinh thi đỗ và trường B có 90% học sinh thi đỗ. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi vào lớp 10.
A. trường A: 150 học sinh và trường B: 100 học sinh.
B. trường A: 110 học sinh và trường B: 140 học sinh.
C. trường A: 120 học sinh và trường B: 130 học sinh.
D. trường A: 100 học sinh và trường B: 150 học sinh.
Lời giải:
Đáp án: A
Gọi số học sinh của trương A tham gia thi vào lớp 10 là x (học sinh), ( 0 < x < 210, x ∈ z+ )
Gọi số học sinh của trương B tham gia thi vào lớp 10 là y (học sinh), ( 0 < y < 210, y ∈ z+ )
Tổng số học sinh của hai trường tham gia thi vào lớp 10 là: 210 : 84% = 250 ( học sinh)
Ta có: x + y = 250
Vì trường A có 80% học sinh thi đỗ và trường B có 90% học sinh thi đỗ, ta có:
0,8x + 0,9y = 210
Suy ra hệ phương trình:
Thay x = 250 – y vào pt (2) ta được:
0,8(250 – y) + 0,9y = 210 ⇔ 200 – 0,8y + 0,9y = 210 ⇔ 0,1y = 100 ⇔ y = 100 ( tm )
Với y = 100 => x = 250 – 100 = 150 ( tm )
Vậy trường A có 150 học sinh, trường B có 100 học sinh.
Câu 10: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 198m và diện tích là 2430 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất đó?
A. chiều dài : 53m và chiều rộng: 46m
B. chiều dài : 59m và chiều rộng: 40m
C. chiều dài : 57m và chiều rộng: 42m
D. chiều dài : 54m và chiều rộng: 45m
Lời giải:
Đáp án: D
Gọi chiều dài của thửa đất là x (m), ( 0 < x < 99)
Gọi chiều rộng của thửa đát là y(m), ( 0 < y < 99, y < x)
Vì thửa đất có chu vi là 198m , nên ta có: 2(x + y) = 198 ⇔ x + y = 99
Vì thửa đất có diện tích là 2430m2, nên ta có: xy = 2430
Vậy chiều dài của thửa đất : 54m, chiều rộng thửa đất: 45m.
Cách giải bài toán năng suất công việc cực hay | Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
A. Phương pháp giải
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
● Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn (nếu có).
● Biểu diễn cácđại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
● Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hai người cùng làm một cộng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong, nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu thì xong công việc?
Hướng dẫn:
Đổi: 7 giờ 12 phút = 
giờ
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ, x > .
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ, y >
Trong 1 giờ cả hai người làm được là: 
Trong 4 giờ người thứ nhất và trong 3 giờ người thứ hai làm được là: 
Suy ra: x = 12 và y = 18 (thỏa mãn)
Vậy người thứ nhất làm 12 giờ, người thứ hai làm 18 giờ thì xong công việc.
Ví dụ 2: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 800 bút chì, sang tháng hai tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cuối tháng hai tổ sản xuất được 945 bút chì.Hỏi tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bút chì?
Hướng dẫn:
Gọi tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x bút chì, x > 0
Gọi tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y bút chì, y > 0
Cả hai tổ sản xuất được trong tháng đầu là: x + y = 800
Trong tháng hai, tổ 1 vượt mức 15% và tổ 2 vượt 20%: 1,15x + 1,2y = 945
Ta có hệ phương trình:
Vậy tổ 1 sản xuất được 300 bút chì, tổ 2 sản xuất được 500 bút chì.
Ví dụ 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể nếu mở vòi thứ 1 trong 9 giờ sau thì mở vòi thứ 2 mở trong 
giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình trong bao nhiêu lâu thì đầy bể.
Hướng dẫn:
Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể là x, y giờ (x, y > 
)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được là: 
Nếu mở vòi thứ 1 trong 9 giờ và mở vòi thứ 2 trong 
Ta có hệ phương trình: 
(Thỏa mãn)
Vậy vòi 1 chảy hết 12 giờ, vời 2 chảy hết 8 giờ.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ 45 phút thì đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình trong thì mất bao lâu đầy bể ? biết rằng vòi thứ hai chảy lâu hơn vòi thứ nhất 4 giờ.
A. Vòi 1 chảy hết: 6 giờ, vòi 2 chảy hết 10 giờ.
B. Vòi 1 chảy hết: 4 giờ, vòi 2 chảy hết 8 giờ.
C. Vòi 1 chảy hết: 8 giờ, vòi 2 chảy hết 12 giờ.
D. Vòi 1 chảy hết: 5 giờ, vòi 2 chảy hết 9 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Đổi 3 gờ 45 phút = 
giờ
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ, x >
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y giờ, y >
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được là: 
Vòi thứ 2 chảy lâu hơn vòi thứ 1 là 4 giờ là y – x = 4
Ta có hệ phương trình: 
Từ pt (1) ta có: 15(4 + x) + 15x = 4x(4 + x) ⇔ 4x2 – 14x – 60 = 0 ⇒ 
Vậy vòi 1 chảy trong 6 giờ, vòi 2 chảy trong 10 giờ.
Chọn đáp án A.
Câu 2: Hai người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, mỗi người nửa việc thì tổng số giờ làm xong việc là 12 giờ 30 phút. Nếu hai người cùng làm thì làm xong trong 6 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người mất bao lâu thì xong công việc.
A. Người thứ 1 hết: 5 giờ, người thứ 2 hết 10 giờ.
B. Người thứ 1 hết: 10 giờ, người thứ 2 hết 15 giờ.
C. Người thứ 1 hết: 12 giờ, người thứ 2 hết 18 giờ.
D. Người thứ 1 hết: 6 giờ, người thứ 2 hết 10 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
12 giờ 30 phút = 12,5 giờ
Gọi thời gian người thứ 1 làm xong công việc là x giờ, x > 6
thời gian người thứ 2 làm xong công việc là y giờ, y > 6
vậy người thứ 1 làm trong 10 giờ, người thứ 2 làm trong 15 giờ.
Chọn đáp án B.
Câu 3: Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ học sinh được trao nhiệm vụ trồng 56 cây. Vì có 1 bạn trong tổ được phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây được giao, mỗi bạn trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định ban đầu. Hỏi tổ học sinh có bao nhiêu bạn, biết mỗi cây được phân cho mỗi bạn trồng là như nhau.
A. 8
B. 7
C. 10
D. 12.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi số cây mỗi bạn trồng theo dự định là x cây, x > 0
số người trong tổ là y bạn, y >1.
Tổ học sinh được giao trồng 56 cây ta có: xy = 56
Sau đó có 1 bạn làm việc khác nên mỗi bạn trong thêm một cây ta có: (x + 1)(y – 1)= 56
Theo đề bài ra ta có:
Chọn đáp án A.
Câu 4: Một đội xe cần chở 480 tấn hàng khi sắp khởi hành đội được điều thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8 tấn so vơi dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe ? biết mỗi xe chở như nhau.
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi x, y lần lượt là số xe và số hàng mỗi xe trở được lúc đầu. (x > 0, y > 8)
Đội xe chở 480 tấn ta có: xy = 480
Sau đó thêm 3 xe nữa và chở ít đi 8 tấn: (x + 3)(y – 8) = 480
Ta có hệ phương trình:
Vậy đội xe có 12 xe.
Chọn đáp án C.
Câu 5: Hai đội công nhân làm chung trong 12 giờ thì xong công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ 1 được điều đi làm việc khác, tổ 2 làm nốt trong 10h thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu thì xong?
A. Tổ 1 hết: 60 giờ, tổ 2 hết 18 giờ.
B. Tổ 1 hết: 40 giờ, tổ 2 hết 20 giờ.
C. Tổ 1 hết: 30 giờ, tổ 2 hết 15 giờ.
D. Tổ 1 hết: 60 giờ, tổ 2 hết 15 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi thời gian tổ 1, tổ 2 làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (x, y > 12)
Trong 1 giờ cả hai tổ làm được là: 
Hai tổ làm chung trong 4 giờ và tổ 2 làm trong 10 giờ thì xong: 
Ta có hệ phương trình:
Với y = 15 ⇒ x = 60. Vậy tổ 1 làm trong 60 giờ, tổ 2 làm trong 15 giờ.
Chọn đáp án D.
Câu 6: Một người đi từ A đến B theo thời gian đã định. Nếu người đó tăng vận tốc lên 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ, nếu người giảm vận tốc 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc của người đó, và thời gian dự định.
A. V = 30 km/h và t = 4 giờ.
B. V = 40 km/h và t = 2 giờ.
C. V = 35 km/h và t = 3 giờ.
D. V = 40 km/h và t = 4 giờ.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B là x (km/h), x > 10.
thời gian dự định đi từ A đến B là y (h), y > 1.
Ta có độ dài quãng đường AB là xy (km)
Nếu tăng vận tốc 10km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ ta có: (x + 10)(y – 1) = xy
Nếu giảm vận tốc 10km/h thì đến B muộn hơn 2 giờ ta có: (x – 10)(y + 2) = xy
Ta có hệ phượng trình: 
Cộng vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: x = 30 ⇒ y = 4 (thỏa mãn)
Vậy người đó đi với vận tốc 30km/h, thời gian dự định là 4 giờ.
Chọn đáp án A.
Câu 7: Một ca nô xuôi dòng 1km và ngược dòng 1km hết 3,5 phút. Nếu ca nô xuôi 20km và ngược 15km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô.
A. V nước = 1/12 km/p và V ca nô = 5/12 km/p.
B. V nước = 1/12 km/p và V ca nô = 7/12 km/p.
C. V nước = 5/12 km/p và V ca nô = 7/12 km/p.
D. V nước = 5/12 km/p và V ca nô = 1/12 km/p.
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/p (x > 0)
vận tốc riêng của dòng nước là y km/p (y > 0, y < x)
Thời gian ca nô đi xuôi và ngược dòng 1km hết 3,5 phút nên ta có: 
Nếu ca nô đi xuôi 20km và ngược 15km thì hết 60 phút, ta có: 
Vậy vận tốc của riêng của ca nô là 7/12 (km/p), vận tốc riêng của dòng nước là 1/12 (km/p)
Chọn đáp án B.
Câu 8: Một chiếc xe tải đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng, quãng đường là 189 km. Sau khi xe tải đi được 1 giờ thì , một chiếc xe khách đi từ Đà Nẵng ra Hà Nội và gặp xe tải sau khi đã đi được 1h 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km.
A. V xe tải = 36km/h và V xe khách = 46 km/h
B. V xe tải = 32km/h và V xe khách = 40 km/h
C. V xe tải = 36km/h và V xe khách = 49 km/h
D. V xe tải = 30km/h và V xe khách = 40 km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc xe tải là x (km/h), x > 0
Vận tốc xe khách là y (km/h) , y > x
Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km nên ta có: y – x = 13
Vậy vận tốc xe tải là 36km/h và vận tốc xe khách là 49 km/h.
Chọn đáp án C.
Câu 9: Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B và đi ngược lại từ B về A ngay. Thời gian xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km và vận tốc của dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc thực của ca nô?
A. 32km/h
B. 35km/h
C. 38km/h
D. 36km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc xuôi dòng của ca nô là x (km/h), x > 0
Vận tốc ngược dòng của ca nô là y (km/h), 0 < y < x)
Thời gian ca nô xuôi dòng 5km và ngược dòng 4km bằng nhau:
Vậy vận tốc thực của ca nô là 40 – 4 = 36 km/h.
Chọn đáp án D.
Câu 10: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ từ thành phố A đến thành phố B là 10km. ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ.Vận tốc ca nô kém vận tốc ô tô 17km/h. Tính vận tốc ca nô.
A. 18 km/h
B. 38 km/h
C. 24 km/h
D. 40 km/h
Lời giải:
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h), x > 0
Vận tốc của ô tô là x + 17 (km/h)
Gọi quãng đường sông từ A đến B là y km, y > 0
Quãng đường bộ từ A đến B là y + 10 (km)
Đổi 3 giờ 20 phút = 10/3 giờ.
Ta có hệ phương trình:
Vậy của ca nô là 18 km/h.
Chọn đáp án A.
