Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai | Toán lớp 9
Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai
Với Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
A. Phương pháp giải
- Định lý Vi-et: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
- Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:
+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2, ta thực hiện bước 2
+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có: 
Ví dụ 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau
a. x2 – 6x + 7 = 0
b. 5x2 – 3x + 1 = 0
Giải
a. Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-3)2 – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có: 
Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7
b. Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-3)2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm
Ví dụ 2: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: 
A = x12 + x22 = (x1 + x2)2-2x1.x2 = 52 - 2.2 = 25 - 4 = 21
Vậy A = 21
Ví dụ 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 2(m + 5)x + m2 + 6 = 0.
Không giải phương trình tính
a. Tổng và tích các nghiệm theo m
b. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2| theo m
Giải
a. Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
b. Ta có:
B. Bài tập
Câu 1: Tổng 2 nghiệm của phương trình 2x2 – 10x + 3 = 0 là
A. 5
B. -5
C. 0
D. Không tồn tại
Giải
Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac = (-5)2 – 3.2 = 25 – 6 = 19 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Viet ta có: x1 + x2 = 5.
Vậy đáp án đúng là A
Câu 2: Tích 2 nghiệm của phương trình x2 – x + 2 = 0 là
A. -2
B. 2
C. 1
D. Không tồn tại
Giải
Ta có ∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Suy ra không tồn tại tích 2 nghiệm
Vậy đáp án đúng là D
Câu 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình - x2 + 3x + 1 = 0.
Khi đó giá trị của biểu thức là A = x1(x2 - 2) + x2(x1 - 2)
A. -7
B. -8
C. -6
D. Không tồn tại
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: 
Vậy đáp án đúng là B
Câu 4: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 3x - m = 0.
Tính giá trị của biểu thức A = x12(1 - x2) + x22(1-x1)
A. –m + 9
B. 5m + 9
C. m + 9
D. -5m + 9
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: 
Vậy đáp án đúng là B
Câu 5: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (m - 2)x2 – (2m + 5)x + m +7 = 0 (m ≠ 2). Tính tích các nghiệm theo m
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: 
Đáp án đúng là A
Câu 6: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 +1 = 0. Tính giá trị của biểu thức 
theo m
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có: 
Đáp án đúng là C.
Câu 7: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 +2 = 0. Tìm m để biểu thức A = x1.x2 – 2(x1 + x2) – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
A. m = 1
B. m = 2
C. m = -12
D. m = 3
Giải
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -10 đạt được khi m – 2 = 0 hay m = 2
Thay m = 2 vào phương trình ta được: x2 – 5x + 6 = 0.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 2, x2 = 3.
Suy ra m = 2 (thỏa mãn)
Đáp án đúng là B
Câu 8: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm m để biểu thức A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn nhất
Giải
Ta có: Δ' = m2 - 2m2 + 4 = -m2 + 4
Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ -m2 + 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≤ 4 ⇔ |m| ≤ 2 (*)
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có: 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 
Ta thấy 
(thỏa mãn (*))
Đáp án đúng là C
Câu 9: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0. Tìm m để biểu thức A = |x1x2 + x1 + x2| đạt giá trị lớn nhất
Ta thấy 
(thỏa mãn (*))
Giải
Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có: 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 
Ta thấy 
(thỏa mãn *)
Đáp án đúng là C
