Cách dựng cung chứa góc cực hay, chi tiết | Toán lớp 9

Cách dựng cung chứa góc cực hay, chi tiết

Với Cách dựng cung chứa góc cực hay, chi tiết Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập dựng cung chứa góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Tải xuống

A. Phương pháp giải

Cho đoạn thẳng AB. Dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn AB

Thực hiện quy trình dựng sau đây :

+ Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;

+ Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α ;

+ Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d;

+ Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Dựng một cung chứa góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng :

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.

+ Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

+ Dựng góc

+ Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.

+ d cắt Ay tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.

là cung chứa góc 55^o cần dựng.

Chứng minh :

+ O thuộc đường trung trực của AB

⇒ OA = OB

⇒ B thuộc đường tròn (O; OA).

Ax ⊥ AO ⇒ Ax là tiếp tuyến của (O; OA).

⇒ là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB

Lấy M ∈ ⇒ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

⇒ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

⇒

⇒ là cung chứa góc 55^o dựng trên đoạn AB = 3cm.

Kết luận : Bài toán có một nghiệm hình.

Ví dụ 2 : Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, góc A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng :

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng tia Bx sao cho

+ Dựng tia By ⊥ Bx.

+ Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

+ Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40^o dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh :

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40^o dựng trên đoạn BC

⇒

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận : Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Ví dụ 3 : Dựng hình vuông ABCD ,biết đỉnh A , điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD

Hướng dẫn giải

Phân tích : Vì ABCD là hình vuông nên:

hay ; hay

Ta có, ba điểm A, M, N cố định nên bài toán quy về việc dựng đỉnh C. Đỉnh C là giao điểm của :

- Cung chứa góc 90^o dựng trên đoạn thẳng MN

- Cung chứa góc 45^o dựng trên đoạn thẳng AM

Cách dựng:

- Dựng cung chứa góc 90^o trên đoạn MN

- Dựng cung chứa góc 45^o trên đoạn AM

Hai cung cắt nhau tại C

- Nối CM ,CN

- kẻ AB ⊥ CM tại B , AD ⊥ CN tại D

Tứ giác ABCD là hình vuông cần dựng.

Chứng minh :

Ta có: C thuộc cung chứa góc 90^o dựng trên đoạn MN ⇒

Ta lại có AB ⊥ CM ⇒ và AD ⊥ CN ⇒

⇒ . Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Ta lại có: C thuộc cung chứa góc AM ⇒ dựng trên cạnh AM

⇒ ΔACB vuông cân tại A

⇒ AB = AC

⇒ ABCD là hình vuông.

Ví dụ 4 : Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, và AB = 3,5cm.

Hướng dẫn giải

Phân tích :

Giả sử đã dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta thấy:

Đoạn thẳng BC = 3cm

Điểm A thỏa mãn hai điều kiện:

- Nằm trên cung chứa góc 50^o dựng trên đoạn thẳng BC

- Nằm trên đường tròn (B; 3,5 cm)

Cách dựng :

+ Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm

+ Dựng cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC

+ Vẽ đường tròn tâm B, bán kính 3,5 cm

+ Giao của cung chứa góc trên và (B;3,5cm) ta được điểm A

+ Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chứng minh :

Xét tam giác ABC, ta có: BC = 3cm

Do A thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng BC nên

Mặt khác A thuộc (B;3,5 cm) nên AB = 3,5 cm.

Bài toán có hai nghiệm hình là các tam giác ABC, A’BC.

Ví dụ 5 : Dựng tam giác ABC, biết rằng: , BC=6cm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1 cm.

Hướng dẫn giải

Phân tích :

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tâm đường tròn nội tiếp I là giao điểm của ba đường phân giác trong nên .

Ta thấy:

- BC = 6cm dựng được

- Điểm I thỏa mãn hai điều kiện: I nằm trên cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC và I nằm trên đường thẳng d//BC, cách BC 1 cm. Suy ra dựng được điểm I.

- Từ đó dựng được BA và CA.

Cách dựng :

- Dựng BC = 6cm.

- Dựng cung chứa góc 120^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng d//BC và cách BC một khoảng 1cm. Đường thẳng này cắt cung chứa góc tại điểm I.

- Dựng tia Bx sao cho BI là phân giác của và tia Cy sao cho CI là phân giác của .

- Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại A.

- Tam giác ABC là tam giác phải dựng.

Chứng minh :

Ta có I thuộc cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC nên

⇈

Ta lại có: (BI là phân giác của )

(CI là phân giác của )

Vì I là giao điểm của hai đường phân giác trong góc B và góc C nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, hơn nữa ta có khoảng cách từ I đến BC bằng 1 cm nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1cm.

Biện luận :

Trên nửa mặt phẳng bờ BC, đường thẳng d và cung chứa góc cắt nhau tại hai điểm, hai hình bằng nhau nên bài toán có một nghiệm hình.