Tổng hợp lý thuyết Chương 1 Hình học 9 hay, chi tiết | Toán lớp 9
Tổng hợp lý thuyết Chương 1 Hình học 9 hay, chi tiết
Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Chương 1 Hình học 9 hay, chi tiết Toán lớp 9 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Chương 1 Hình học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 9.
1. Hệ thức về cạnh và đường cao
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:
Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = (1/2)bc = (1/2)ah.
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.
Tính chất:
+ Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0.
Ta có: sin2α + cos2α = 1;
tanα.cotα = 1
+ Với hai góc nhọn α, β mà α + β = 90°.
Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.
Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cotg của góc kề.
b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB; b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgC.
Chú ý: Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.
B. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b (b > a) .
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Dựng BKk ⊥ AC . Tính tỷ số 
.
Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của BC. Theo định lý Pitago ta có:
b) Ta có
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKB ta có:
Câu 2: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b , c
b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ 4√3S
Lời giải:
a) Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác
ABC ⇒ B, C là các góc nhọn.
Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm H thuộc cạnh BC.
Ta có: BC = BH + HC.
Áp dụng định lý Py ta go cho các tam giác vuông AHB, AHC ta có:
AB2 = AH2 + HB2; AC2 = AH2 + HC2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB
b) Từ câu a) ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Câu 3: Biết sinα 5/13 . Tính cosα, tanα và cotα .
Lời giải:
Xét Δ vuông tại A.
Câu 4: Biết sinα.cosα = 12/25. Tính sinα.cosα.
Lời giải:
Biết sinα.cosα = 12/25. Để tính sinα.cosα ta cần tính sinα + cosα rồi giải phương trình với ẩn là sinα hoặc cosα.
Ta có:
Câu 5: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết HD:HA = 1:2 . Chứng minh rằng tgB.tgC = 3 .
Lời giải:
Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Câu 7: Ở một cái thang đơn dài có ghi “để dảm bảo an toàn cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc α thì phải thỏa mãn 60° < α < 75° . Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?
Lời giải:
Ta xem đề bài như hình vẽ trên
Khi đó: Khoảng an toàn nằm trong khoảng từ C đến D
Ta có:
BC = AC.cos75° = 3.cos75° ≃ 0,776 (m)
BD = ED.cos60° = 1,5 (m)
Vậy phải đặt thang cách vật dựa một đoạn l(m) thỏa mãn 0,776(m) < l < 1,5(m)
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 20m, 
. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E. Biết BD = 5m . Tính độ dài AE là?
Lời giải:
Câu 9: Tính diện tích tam giác ABC biết 
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .
Lời giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt, nhưng tam giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vuông bằng cách.
Dựng các đường thẳng qua C, B lần lượt vuông góc với AC, AB . Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên.
Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác
vuông và 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AD = 2R .
Ta có:
Câu 10: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B, C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c . Chứng minh rằng:
a) a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh: 
Lời giải:
a) Dựng đường cao BH của tam giác ABC
Giả sử H thuộc cạnh AC .
Ta có: AC = AH + HC.
Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vuông AHB, BHC ta có:
AB2 = AH2 + HB2, BC2 = BH2 + HC2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
b)
Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
Từ đó ta suy ra: sin2α = 2sinα.cosα .
*) Xét tam giác ABC. Dựng đường cao BE ta có:
Câu 11: Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng 
.
Lời giải:
Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Py – ta- go , ta có:
