Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình | Toán lớp 9

Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình

Với Cách tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m của hệ phương trình từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất.

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế để làm mất tham số m.

Bước 3: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy với m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có:

Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là x + y = -3.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình sau: .(m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x (x > 0) và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Vậy x² + xy – 1 – y = 0 là hệ thức không phụ thuộc vào m.

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 3y = 3m – 3 ⇔ y = m - 1

Thế y = m - 1 vào pt: x – 2y = 2 ⇔ x – 2(m – 1) = 2 ⇔ x = 2m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = 2m; y = m – 1

hay . Lấy (3) trừ (4) ta được: x – 2y = 2 ⇒ x – 2y – 2 = 0

Vậy: x – 2y – 2 = 0 là biểu thức liên hệ không phụ thuộc vào m.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hệ phương trình: (I) . (m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. 3x + 8y – 7 = 0

 B. 3x – 8y – 7 = 0

 C. x + 8y – 7 = 0

 D. 2x – 8y + 7 = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Thế m = x + y vào pt: 2x – 3y = 5m – 7 ta được:

⇒ 2x – 3y = 5(x + y) – 7

⇔ 2x – 3y = 5x + 5y – 7

⇔ 3x + 8y – 7 = 0.

Vậy 3x + 8y – 7 = 0.là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. x + y – 7 = 0

 B. x – y – 16 = 0

 C. 2x + y – 16 = 0

 D. x – 16y + 16 = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Từ pt: x + y = m + 4 ⇒ m = x + y – 4. Thế m vào pt: 2x + 3y = 4m ta được:

⇒ 2x + 3y = 4(x + y – 4)

⇔ 2x + 3y = 4x + 4y – 16

⇔ 2x + y – 16 = 0.

Vậy 2x + y – 16 = 0.là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

 A. x + 3y – 30 = 0

 B. 2x – y – 6 = 0

 C. 2x + 6y – 30 = 0

 D. 3x + 12y – 32 = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vì , nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

Từ pt: x + y = m + 6 ⇒ m = x + y – 6. Thế m vào pt: 2x – 7y = 5m – 2 ta được:

⇒ 2x – 7y = 5(x + y – 6) – 2

⇔ 2x – 7y = 5x + 5y – 30 – 2

⇔ 3x + 12y – 32 = 0.

Vậy 3x + 12 y – 32 = 0.là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? (x, y > 0).

 A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m và biểu thức liên hệ x và y: 5x + y + 10 = 0

 B. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m và biểu thức liên hệ x và y: 6x – y – 9 = 0

 C. Hệ phương trình có nghiệm với m và biểu thức liên hệ x và y: 2x + 6y – 30 = 0

 D. Hệ phương trình có nghiệm với m và biểu thức liên hệ x và y: 4x² – y² – 2x - y = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vậy 4x² - y² - y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. (x, y > 0).

 A. 3x² – 5y – 2x + 5 = 0

 B. x² – y – 2x + 5 = 0

 C. x² – y² – 2x + 8 = 0

 D. 2x² – 8y² – 6y – 3x = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vậy 2x² - 8y² - 6y - 3x = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. tìm hệ thức 2P ? (x, y > 0).

 A. 2x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 B. 6x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 C. 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

 D. x² + 2y² + y - 2x = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vậy (P) x² + 2y² + y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m

hay (2P): 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P. Tìm hệ thức 2P. (x, y > 0).

 A. 2x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 B. 6x² - 8y² - 6y - 4x = 0

 C. 2x² + 4y² + 2y - 4x = 0

 D. x² + 2y² + y - 2x = 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vậy (P) x² +2y² + y - 2x = 0 là biểu thức giữa x và y không phụ thuộc vào m

hay (2P): 2x² +4y² + 2y - 4x = 0.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). Gọi hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là P. tìm hệ thức (P) : 2 ? (x, y > 0).

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất mọi m:

Từ pt (2) thế m = 2x – 3y vào pt (1) ta được :

⇒ 2x + 4y = 2(2x – 3y) + 6 ⇔ 2x – 10y + 6 = 0 (P)

Vậy (P) 2x – 10y + 6 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

hay (P) : 2 là x – 5y + 3 = 0.

Chọn đáp án D.

Câu 9: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Tìm hằng số tự do? (x, y > 0).

 A. 8

 B. 6

 C. 1

 D. 0

Lời giải:

Hướng dẫn:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Từ pt (2) thế m = x + y – 1 vào pt (1) ta được :

⇒ 2x(x + y – 1) + 3y = x + y – 1

⇔ 2x² + 2xy – 2x + 3y = x + y – 1

⇔ 2x² + 2xy – 3x + 2y + 1 = 0 (P)

Vậy (P) 2x² + 2xy – 3x + 2y + 1 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

Vậy hằng số tự do là 1.

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Tìm bậc của hệ thức (P) ? (x, y > 0).

 A. 1

 B. 2

 C. 3

 D. 4

Lời giải:

Hướng dẫn:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

Từ pt (2) thế m = x – y vào pt (1) ta được :

⇒ x(x – y) – y = 1 ⇔ x² – xy – y – 1 = 0 (P)

Vậy (P) x² – xy – y – 1 = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

hay bậc của (P) là: 2.

Chọn đáp án B.

Câu 11: Cho hệ phương trình: .(m là tham số). với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất, hệ thức (P) liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. hằng số tự do của hệ thức (P) ? (x, y > 0).

 A. 0

 B. 2

 C. 1

 D. 3

Lời giải:

Hướng dẫn:

Vậy (P) x² - y² - x - y = 0 là biểu thức giữa x và y không phị thuộc vào m

Hằng số tự do của (P) là: 0.

Chọn đáp án A.