Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay | Toán lớp 9

Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

Với Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

+ B1: Đặt điều kiện cho phương trình

+ B2: Biến đổi phương trình về dạng đã biết cách giải, sau đó giải và biện luận phương trình đó

+ B3: Kết luận

Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

Giải

a. ĐK: x ≠ 2

Phương trình (1) ⇒ (2m – 1)x + 2 = (m + 1)(x – 2)

⇔ 2mx – x + 2 = mx + x – 2m - 2

⇔ mx + x – 2m - 2 – 2mx + x – 2 = 0

⇔ 2x – mx – 2m – 4 = 0

⇔ (2 – m)x - 2m – 4 = 0 (2)

Xét TH1: 2 – m = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (2) có dạng -8 = 0 (vô nghiệm)

⇒ phương trình (1) vô nghiệm

Xét TH2: 2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình (2) có một nghiệm x =

+ Nếu x = = 2 ⇒ 2m + 4 = 4 – 2m ⇔ m = 0 thì x = không là nghiệm của phương trình (1), do đó phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu x = ≠ 2 ⇔ 2m + 4 ≠ 4 – 2m ⇔ m ≠ 0 thì x = là nghiệm của phương trình (1)

Kết luận: Nếu m = 2 hoặc m = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≠ 2 và m ≠ 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x =

b. ĐK: x ≠ 3m

Phương trình (2) ⇒ (x + 1)(mx + 2) = 0 (3)

Xét TH1: m = 0 thì phương trình (*) có dạng 2 = 0 (vô nghiệm)

⇒ phương trình (3) có 1 nghiệm x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m = 0

Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm x = -1

Xét TH2: m ≠ 0 thì phương trình (*) có một nghiệm x = , nghiệm này luôn thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m (với mọi m ≠ 0)

+ Nếu x = -1 = 3m ⇔ m = thì x = -1 không là nghiệm của phương trình (2), do đó phương trình (2) có 1 nghiệm

+ Nếu x = -1 ≠ 3m ⇔ m ≠ thì x = -1 là nghiệm của phương trình (2)

+ Nếu -1 = ⇒ m = 2 thì phương trình (3) có 1 nghiệm x = -1 thỏa mãn điều kiện x ≠ 3m = 6

Kết luận: Nếu m = 2 hoặc m = 0 thì phương trình (2) có 1 nghiệm x = -2

Nếu m = thì phương trình (2) có 1 nghiệm x = 6

Nếu m ≠ 2, m ≠ và m ≠ 0 thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x = , x = -1

B. Bài tập

Câu 1: Tìm m để phương trình vô nghiệm

A. m = 0, m = -1

B. m = -3, m = 0

C. m = 2, m = -1

D. m = -2, m = 1

Giải

ĐK: x ≠ ±1

Phương trình (1) ⇒ (x – m)(x + 1) + (x – 2)(x – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

⇔ x² + x – mx – m + x² – x – 2x + 2 =2(x² - 1)

⇔ 2x² – 2x – mx + 2 – m – 2x² + 2 = 0

⇔ -(m + 2)x + 4 – m = 0

⇔ (m + 2)x + m – 4 = 0 (2)

Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không thỏa mãn điều kiện x ≠ ±1

Xét TH1: Phương trình (2) vô nghiệm

Xét TH2: Phương trình (2) có 1 nghiệm

Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án D

Câu 2: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

A. m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ -2

B. m = 3, m = 1

C. m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ 2

D. không tồn tại m

Giải

ĐK: x ≠ 1, x ≠ m

Phương trình (1)⇒ (x – m)(x + 1) = (x + 2)(x – 1)

⇔ x² + x – mx – m = x² – x + 2x - 2

⇔ x² + x – mx – m - x² + x - 2x + 2 = 0

⇔ -mx + 2 – m = 0 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi phương trình (2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x ≠ 1, x ≠ m

Vậy với m ≠ 0, m ≠ 1, m ≠ -2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Đáp án A

Câu 3: Tìm a, b để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

A. a ≠ 0, b ≠ 1, a ≠ b

B. a = 0, b = 1

C. a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b

D. không tồn tại a và b

Giải

ĐK: x ≠ a, x ≠ b

Phương trình (1) ⇒ a(x - a) + b(x – b) = 2(x – a)(x – b)

⇔ ax – a² + bx – b² = 2x² – 2bx – 2ax + 2ab

⇔ 2x² – 2bx – 2ax + 2ab - ax - bx + a² + b² = 0

⇔ 2x² – 3bx – 3ax + 2ab + a² + b² = 0

⇔ 2x² – 3(a + b)x + (a + b)² = 0 (2)

Đặt f(x) = 2x² – 3(a + b)x + (a + b)²

Phương trình (2) có: Δ=9(a+b)²-8(a+b)²=(a+b)²

Phương trình (1) có 2 nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x ≠ a, x ≠ b

Vậy với a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án C

Câu 4: Tìm m để phương trình có 1 nghiệm

A. m ≠ 0, m = -2

B. m = -1, m = 5

C. m ≠ 5, m ≠ -1

D. m = -5, m = 1

Giải

ĐK: x ≠ -1

Phương trình (1) ⇒ (m – 2)x + 3 = (2m – 1)(x + 1)

⇔ mx – 2x + 3 = 2mx + 2m – x - 1

⇔ 2mx + 2m – x – 1- mx + 2x – 3 = 0

⇔ mx + x + 2m – 4 = 0

⇔ (m + 1)x +2m – 4 = 0 (2)

Phương trình (1) có 1 nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm thỏa mãn điều kiện x ≠ -1

Vậy với m ≠ -1 hoặc m ≠ 5 thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án C

Câu 5: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

A. m ≠ -3 và m ≠ -2

B. m ≠ -2, m ≠ 3

C. m ≠ 2, m ≠ 3

D. m ≠ 2, m ≠ -3

Giải

ĐK: x ≠ 1

Phương trình (1) ⇒ (2m + 2)x - m = (x + m)(x - 1)

⇔ 2mx + 2x - m = x² – x + mx - m

⇔ x² – x + mx – m – 2mx – 2x + m = 0

⇔ x² – 3x – mx = 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm khi x = 0, x = m + 3 phân biệt và cùng thoả mãn điều kiện x ≠ 1

Vậy với m ≠ -2 và m ≠ -3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm

Đáp án A

Câu 6: Tìm m để phương trình có 1 nghiệm

Giải

ĐK: x ≠ m

Phương trình (1)⇒ (3m - 2)x - 5 = -3(x - m)

⇔ 3mx - 2x - 5 = –3x +3m

⇔ –3x + 3m – 3mx + 2x + 5 = 0

⇔ -x – 3mx + 3m + 5 = 0

⇔ x(1+3m)-3m-5=0(2)

Phương trình (1) có 1 nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm thoả mãn điều kiện x ≠ m

Vậy với thì phương trình (1) có 1 nghiệm

Đáp án D