Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay | Toán lớp 9

Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay

Với Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

- Để nhẩm nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

+ B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x² + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x² + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có kết quả sau

x² + (u + v)x + uv = 0 ⇒ x₁ = -u, x₂ = -v

x² - (u + v)x + uv = 0 ⇒ x₁ = u, x₂ = v

- Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x² – 11x + 30 = 0

b. x² – 12x + 27 = 0

c. x² + 16x + 39 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 11² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có:

Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = 5, x₂ = 6

b. Phương trình đã cho có ∆ = 12² – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = 3, x₂ = 9

c. Phương trình đã cho có ∆ = 16² – 4.39 = 256 – 156 = 100 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 39 = 13.3 = (-13).(-3) = 1.39 = (-1).(-39) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng -16 nên hai số thỏa mãn (*) là -13 và -3

Suy ra các nghiệm của phương trình là: x₁ = -13, x₂ = -3

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình sau

a. 2x² + 3x + 1 = 0

b. 3x² – 2x - 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

b. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

B. Bài tập

Câu 1: Số nghiệm của phương trình 7x² - 9x + 2 = 0 là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

Đáp án C

Câu 2: Số nào sau đây là nghiệm của phương trình 1975x² + 4x - 1979 = 0

Giải

Phương trình đã cho có: a + b + c = 1975 + 4 + (-1979) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là:

Đáp án A

Câu 3: Cho phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 (m ≠ 2), khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

B. Phương trình có 2 nghiệm x = -1, x = m + 3 ∀ m ≠ 2

C. Phương trình có nghiệm kép ∀ m ≠ 2

D. Phương trình vô nghiệm ∀ m ≠ 2

Giải

Với m ≠ 2 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m – 2, b = -(2m + 5), c = m + 7

Suy ra a + b + c = m – 2 – (2m + 5) + m + 7 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:

Đáp án A

Câu 4: Một nghiệm của phương trình mx² + (3m – 1)x + 2m - 1 = 0 (m ≠ 0) là

Giải

Với m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có các hệ số:

a = m, b = 3m - 1, c = 2m - 1

Suy ra a - b + c = m – 3m + 1 + 2m - 1 = 0

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm:

Đáp án C

Câu 5: Cho phương trình: (2m – 1)x² + (m - 3)x - 6m - 2 = 0 ()

Biết rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại của phương trình theo m

Giải

Vì phương trình đã cho có nghiệm x = -2 nên ∆ ≥ 0.

Nghĩa là phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ . Không làm mất tính tổng quát, giả sử x₁ = -2

Áp dụng Vi-et ta có:

Đáp án B

Câu 6: Tìm m để phương trình x² + 3mx - 108 = 0 có một nghiệm bằng 6. Với giá trị m vừa tìm được tính nghiệm còn lại

A. m = 4 và x = -18

B. m = 3 và x = -16

C. m = 2 và x = -15

D. m = 1 và x = -19

Giải

Vì x = 6 là nghiệm của phương trình nên:

Với m = 4 phương trình trở thành: x² + 12x - 108 = 0. Theo Vi-et ta có:

Đáp án A

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình x² - (m + 4)x + 3m + 3 = 0

A. Phương trình có nghiệm kép x = 2 ∀ m

B. Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = m + 1 ∀ m

C. Phương trình có hai nghiệm x = 2, x = m + 2 ∀ m

D. Phương trình vô nghiệm

Giải

⇒ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Phương trình x² - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 ⇔ x² - [(m + 1) + 3]x + 3(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm: x = 3, x = m + 1

Đáp án B

Câu 8: Biết rằng phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt. Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m

A. 2m² - 2m - 1

B. 2m² + 2m - 1

C. 2m² + 2m + 1

D. 2m² - 2m + 1

Giải

Phương trình x² - (2m + 1)x + m² + m = 0 ⇔ x² - [m + (m + 1)]x + m(m + 1) = 0

⇒ phương trình có 2 nghiệm x = m, x = m + 1

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là:

m² + (m + 1)² = m² + m² + 2m + 1 = 2m² + 2m + 1

Đáp án là C