Phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn hay, chi tiết | Toán lớp 9

Phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn hay, chi tiết

Với Phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn hay, chi tiết Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình bậc hai một ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

A. Phương pháp giải

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Để giải phương trình ta làm như sau

B₁: Xác định các hệ số a, b, c

B₂: Tính ∆ = b² - 4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ 1: Giải phương trình x² + 3x + 3 = 0

Giải

Ta có: a = 1; b = 3; c = 3 ⇒ ∆ = b² – 4ac = 9 – 12 = - 3 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình x² + x - 5 = 0

Giải

Ta có: a = 1; b = 1; c = - 5 ⇒ ∆ = b² – 4ac = 1 + 20 = 21 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Ví dụ 3: Giải phương trình x² + 2x + 2 = 0

Giải

Ta có: a = 1; b = 2; c = 2

⇒ ∆ = b² – 4ac =

Vậy phương trình có nghiệm kép:

* Công thức nghiệm thu gọn: Dùng khi hệ số b = 2bꞌ

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ꞌ = (bꞌ)² - ac (b = 2bꞌ)

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Giải

Ta có: a = 3; bꞌ = -√3 ; c = -3 ⇒ ∆ꞌ = (bꞌ)² - ac =

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

* Nếu hệ số b = 0 thì phương trình có dạng: ax² + c = 0 (2)

Để giải phương trình (2) ngoài cách dùng ∆ hoặc ∆ꞌ ở trên ta có thể làm như sau:

+ Nếu ac > 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ac = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = 0

+ Nếu ac < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a. 2x² + 3 = 0

b. -7x² = 0

c. 3x² – 12 = 0

Giải

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 2, x = -2

*Nếu hệ số c = 0 thì phương trình có dạng: ax² + bx = 0 (3)

Để giải phương trình (3) ngoài cách dùng ∆ hoặc ∆ꞌ ở trên ta có thể làm như sau

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau

a. 3x² +8x = 0

b. 5x² – 10x = 0

Giải

a. Ta có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x = 0,

b. Ta có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x = 0, x = 2

B. Bài tập

Câu 1: Một nghiệm của phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 là

A. -2

B. -1

C. -5

D. 0

Giải

Ta có: a = 3; b = 5; c = -2 ⇒ ∆ = b² – 4ac = 5² – 4.3.(-2) = 49 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy đáp án đúng là A

Câu 2: Số nghiệm của phương trình 3x² - 6x + 3 = 0 là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Giải

Ta có: a = 3; bꞌ = -3; c = 3 ⇒ ∆ꞌ = (bꞌ)² - ac = (-3)² – 3.3 = 9 - 9 = 0

Suy ra phương trình có một nghiệm

Vậy đáp án đúng là C

Câu 3: Giả sử x₁, x₂ (x₁ > x₂) là hai nghiệm của phương trình 5x² - 6x + 1 = 0. Tính 2x₁ + 5x₂

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Giải

Ta có: a = 5; bꞌ = -3; c = 1 ⇒ ∆ꞌ =(bꞌ)² - ac = (-3)² – 5.1 = 9 - 5 = 4 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy đáp án đúng là D

Câu 4: Số thực nào sau đây là nghiệm của phương trình x² - x + 8 = 0

A. 2

B. 10

C. -15

D. Không có

Giải

Ta có: a = 1; b = -1; c = 8 ⇒ ∆ = b² – 4ac = (-1)² – 4.1.8 = -31 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Vậy đáp án đúng là D

Câu 5: Giả sử x₁ < x₂ là hai nghiệm của phương trình x² -7x - 8 = 0. Tính 2x₁

A. -2

B. 1

C. -1

D. 6

Giải

Ta có: a = 1; b = -7; c = -8 ⇒ ∆ = b² – 4ac = (-7)² – 4.1.(-8) = 81 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Suy ra x₁ = -1 do đó 2x₁ = -2

Vậy đáp án đúng là A

Câu 6: Nghiệm của phương trình 3x² + 15 = 0 là

Giải

Phương trình 3x² + 15 = 0 ⇔ 3x² = -15 ⇔ x² = -5 (vô nghiệm)

Vậy đáp án đúng là D

Câu 7: Nghiệm của phương trình x² + 13x = 0 là

A. 13 và -13

B. 0 và -13

C. 0 và 13

D. Vô nghiệm

Giải

Phương trình x² + 13x = 0

Vậy đáp án đúng là B

Câu 8: Cho phương trình 2x² + 4x + 1 = -x² - x – 1. Tính |x₁ - x₂|

Giải

Phương trình 2x² + 4x + 1 = -x² - x – 1

Ta có: a = 3; b = 5; c = 2 ⇔ ∆ = b² – 4ac = (5)² – 4.3.2 = 1 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy đáp án đúng là A

Câu 9: Cho phương trình x² - 10x + 21 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình vô nghiệm

B. Phương trình có nghiệm không nguyên

C. Phương trình có 1 nghiệm

D. Phương trình có 2 nghiệm nguyên

Giải

Ta có: a = 1; b = -10; c = 21 ⇒ ∆ = b² – 4ac = (-10)² – 4.1.21 = 16 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy đáp án đúng là D

Câu 10: Số nghiệm của phương trình 4x² - 6x = -2x là

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Giải

Vậy đáp án đúng là C