Vị trí tương đối của hai đường tròn hay, chi tiết | Toán lớp 9
Vị trí tương đối của hai đường tròn hay, chi tiết
Với Vị trí tương đối của hai đường tròn hay, chi tiết Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
Lý thuyết và Phương pháp giải
1. Bảng tóm tắt
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; r) (R ≥ r) | Số điểm chung | Hệ thức giữa d = OO’ với R và |
Hai đường tròn cắt nhau | 2 | R – r < d < R + r |
Hai đường tròn tiếp xúc nhau - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc trong |
1 |
d = R + r d = R – r |
Hai đường tròn không giao nhau - (O) và (O’) ở ngoài nhau - (O) đựng (O’) |
0 |
d > R + r d < R - r |
2. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả đường tròn
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho các đường tròn (A; 9); (B; 16); (C; 20) tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi một. Đường tròn (A) tiếp xúc với đường tròn (B) và (C) lần lượt tại D và E. Đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại F. Hai tia DE và DF cắt đường tròn (C) tại M và N
a) Chứng minh rằng MN // AB
b) Tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
a) Các đường tròn (A), (B), (C) tiếp xúc ngoài nên ba điểm A, D, B thẳng hàng; ba điểm A, E, C thẳng hàng; B, F, C thẳng hàng.
Nối CM, CN ta có:
⇒ CM // AB ; CN // AB
Do đó theo tiên đề Ơ-clit thì C, M, N thẳng hàng
Vậy MN // AB
b) Xét tam giác ABC có:
AB = AD + DB = 9 + 16 = 25
BC = BF + FC = 16 + 20 = 36
CA = CE + EA = 20 + 9 = 29
Áp dụng định lí cosin, ta có:
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB.BC.cosB
⇒ 292 = 252 + 362 - 2.25.36.cosB
⇒ cosB = 3/5
Diện tích tam giác ABC là:
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính R cắt nhau tại A và B. Đoạn nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N. Cho biết MN = 6cm ; AB = 12 cm.
a) Chứng minh rằng ON = O’M
b) Tính độ dài đoạn nối tâm
Hướng dẫn:
a) Ta có: ON = OO’ – O’N = OO’ – R
O’M = OO’ – OM = OO’ – R
⇒ ON = O’M (1)
b) Gọi H là giao điểm của OO’ và AB
Ta có: OO'⊥ AB và HA = HB = 6 cm
ΔOAO’ cân tại A có AH là đường cao nên cũng là trung tuyến
⇒ OH = O’H (2)
Từ (1) và (2) ⇒ H là trung điểm của MN ⇒ HN = HM = 3cm
Xét ΔOAH vuông tại H, có: OA2 = AH2 + OH2
⇒ R2 = 62 + (R - 3)2 ⇒ R = 7,5 cm
OH = OM – HM = 7,5 – 3 = 4,5 cm
Do đó: OO’ = 2OH = 9 cm
Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B. Hai đường tròn thay đổi tiếp xúc với AB lần lượt tại A và B và tiếp xúc nhau tại M
Tìm tập hợp các điểm M
Hướng dẫn:
a) Phần thuận
Kẻ tiếp tuyến chung qua M của (O), (O’) cắt AB tại I.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có: IA = IB = IM
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (I; AB/2) với I là trung điểm của AB
Giới hạn: M ≢ A,B
b) Phần đảo
Trên (I; AB/2) lấy điểm M’ bất kì. Gọi O1 là giao điểm của đường vuông góc với AB tại A và đường trung trực của M’A; vẽ đường tròn (O1,O1 A). Tương tự vẽ đường tròn (O2, O2B) rồi chứng minh hai đường tròn (O1,O1 A) và (O2,O2 B) tiếp xúc nhau tại M. Dễ dàng chứng minh được O1, M, O2 thẳng hàng và O1 O2 = O1 M+MO2. Như vậy đường nối tâm bằng tổng hai bán kính nên (O1,O1 A) và (O2,O2 B) tiếp xúc nhau tại M
Vậy quỹ tích những điểm M là đường tròn đường kính AB (không kể A và B)