Cách giải bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông cực hay | Toán lớp 9

Cách giải bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông cực hay

Với Cách giải bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông cực hay Toán lớp 9 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.

Lý thuyết và Phương pháp giải

    Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

        + BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

        + CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

    Khi đó, ta có:

    1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

    AC² = CH.BC hay b² = a.b'

    2) AH² = CH.BH hay h² = b'.c'

    3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

    5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Biết AH = 6 cm, HC – HB = 3,5 cm. Tính độ dài AB, AC

Hướng dẫn:

    Ta có: AH² = BH.CH ⇒ BH.CH = 36

    Mặt khác: CH - BH = 3,5 (1)

    ⇒ (CH - BH)² = 3,5² = 12,25

    Ta có: (CH + BH)² = (CH - BH)² + 4BH.CH = 12,25 + 4.36 = 156,25

    ⇒ CH + BH = √156,25 = 12,5 (2)

    Từ (1) và (2) ⇒ CH = 8; BH = 4,5

    Ta có: AB² = BH.BC = 4,5.12,5 = 56,25 ⇒ AB = 7,5 (cm)

    AC² = CH.BC = 8.12,5 = 100 ⇒ AB = 10 (cm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Đặt BC = a; CA = b; AB = c; AH = h; BD = x; CE = y. Chứng minh rằng:

    a) a²x = c³; a²y = b³

    b) axy = h³

Hướng dẫn:

    a) Đặt BH = c'; CH = b'

    Xét ΔBDH và ΔBAC có:

    ⇒ a.x = c.c'

    ⇒ a.a.x = a.c.c' hay a²x = a.c.c'

    Mặt khác a.c' = c² nên a²x = c.c² ⇒ a²x = c³

    Chứng minh tương tự, ta được a²y = b³

    b) Ta có: a²x.a²y = c³.b³

    Lại có: b.c = a.h nên a⁴.xy = a³h³

    ⇒ a.xy = h³

Ví dụ 3: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy và cách đường thẳng xy là 3 cm. Gọi M là điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABC vuông tại A sao cho AM là đường cao của tam giác đó. Tính giá trị nhỏ nhất của tích MB.MC

Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của A trên xy, H là điểm cố định và AH = 3cm

    Ta có: AM ≥ AH ( dấu bằng xảy ra khi M trùng H)

    Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao nên :

    MB.MC = AM² ≥ AH² = 3² = 9

    Do đó, tích MB. MC đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi M trùng H