Tổng hợp lý thuyết Chương 2 Đại Số 9 hay, chi tiết | Toán lớp 9
Tổng hợp lý thuyết Chương 2 Đại Số 9 hay, chi tiết
Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Chương 2 Đại Số 9 hay, chi tiết Toán lớp 9 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Chương 2 Đại Số từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 9.
I. CHỦ ĐỀ 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số
• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, x được gọi là biến số.
• Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc công thức.
• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng.
2. Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
3. Hàm số đồng biến, nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R Với x1, x2 ∈ R ta có:
• Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến.
• Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến.
II. CHỦ ĐỀ 2: HÀM BẬC NHẤT. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b (a ≠ 0)
1. Định nghĩa
• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0
• Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax , biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x.
2. Tính chất.
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R và có tính chất:
a) Đồng biến trên R, khi a > 0.
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0.
3. Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .
• Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0 ; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0 .
• Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:
• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.
• Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 , và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0
4. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .
• Bước 1: Cho x = 0 thì y = b , ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
• Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) .
5. Kiến thức mở rộng
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(x1; y2) ; B(x2; y2) ta có:
•
• M(x; y) là trung điểm của AB
• A đối xứng với B qua trục hoành
• A đối xứng với B qua trục tung
• A đối xứng với B qua gốc O
• A đối xứng với B qua đường thẳng y = x
• A đối xứng với B qua đường thẳng y = -x
III. CHỦ ĐỀ 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU. HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ≠ 0)
1. Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau.
Cho hai đường thẳng (d1 ): y = ax + b (a ≠ 0); (d2): y = a'x + b' (a' ≠ 0)
• Khi a ≠ 0 và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b.
2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)
* Cho đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
* Tính chất
• Khi a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.
• Khi a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.
3. Kiến thức bổ sung
Cho hai đường thẳng (d1): y = ax + b (a ≠ 0); (d2): y = a'x + b' (a' ≠ 0) .
• (d1) ⊥ (d2) ⇔ a.a' = -1
• Nếu (d1) cắt (d2) thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax + b = a'x + b'
B. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = x - 2 và (d2): y = 2 - x
a) Vẽ hai đường thẳng trên cùng trục
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d1), (d2)
c) Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 2|
d) Biện luận số nghiệm của phương trình m = |x - 2|
Lời giải:
a) Vẽ (d1):
+ Cho x = 0 ⇒ y = -2
+ Cho y = 0 thì x = 2.
Đồ thị hàm số y = x - 2 là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; -2) và (2; 0)
*Vẽ (d2): y = 2 - x
Cho x = 0 thì y = 2
Cho y = 0 thì x = 2
Đồ thị hàm số y = 2 – x là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; 2) và (2; 0).
b) Hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng đã cho là nghiệm phương trình :
x - 2 = 2 - x ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
Với x = 2 ⇒ y = 2 - 2 = 0
Vậy tọa độ giao điểm là M(2; 0)
c) Ta có:
Nhận xét: y = x - 2 nếu x ≥ 2 là nửa đường thẳng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x = 2
Kết luận: Đồ thị y = |x - 2| như hình vẽ
d) Xét hai đồ thị: y = m, y = |x - 2|
Số nghiệm của phương trình m = |x - 2| là số giao điểm của đồ thị y = m và y = |x - 2|
+ Với m < 0 đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| . Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với m = 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| tại một điểm duy nhất. Như vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.
+ Với m > 0 đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = |x - 2| tại hai điểm phân biệt. Như vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 2: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm A(2; 1)
Lời giải:
Đường thẳng OA đi qua O nên có dạng: y = ax (a ≠ 0) .
Điểm A nằm trên đường thẳng OA nên: 1 = a.2 ⇒ a = 1/2
Vậy phương trình đường thẳng OA là y = 1/2
Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng OA nên a = 1/2
Mặt khác đường thẳng đó đi qua điểm có tọa độ là (0; -2)
Khi đó ta có: -2 = 0.1/2 + b ⇒ b = -2
Vậy giá trị cần tìm là a = 1/2; b = -2
Câu 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; -2) và thỏa mãn:
Lời giải:
Câu 4: Cho hai hàm số y = (m + 3)x - 1 (1) và y = (1 - 2m)x + 5 (2)
Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng
a) Song song
b) Cắt nhau
c) Trùng nhau
Lời giải:
Xét (1) ta có: a = m + 3, b = -1
Xét (2) ta có: a' = 1 - 2m, b' = 5
Câu 5: Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Tìm điểm M cố định mà đồ thị đi qua với mọi m
b) Viết đường thẳng đi qua điểm M và gốc tọa độ
c) Tìm m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.
Lời giải:
a) Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua với mọi m
b) Vì đường thẳng OM đi qua gốc tọa độ O
Nên phương trình có dạng : y = ax (a ≠ 0)
Điểm M(-1; 1) thuộc đường thẳng OM nên
1 = a.(-1) nên a = -1
Vậy phương trình đường thẳng OM là y = -x
c) Gọi H là hình chiếu của O lên (d)
Ta có: OH ≤ OM (không đổi)
Vậy để OH đạt giá trị lớn nhất thì đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng OM
⇔ (m - 1)(-1) = -1 ⇔ m = 2
Câu 6: Cho đường thẳng y = mx + m - 1 (m là tham số) (1)
a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Lời giải:
a) Điều kiện để đường thẳng (1) đi qua điểm N(x0; y0) với mọi m là:
Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định là N(-1; -1)
b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung
Với x = 0 ⇒ y = m - 1 ⇒ A(0; m - 1) . Do đó: OA = |m - 1|
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành
Với
Ta có:
Có 3 đường thẳng đi qua điểm N tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
Câu 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất; góc phần tư thứ hai với mx + 2y = 5 (1) và 2x + y = 1 (2)
Lời giải:
Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi
+ Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ nhất khi:
+ Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ hai khi:
Câu 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2|x - 2| - 3
b) y = |x - 1| + |x - 3|
Lời giải:
b) Ta có: y = |x - 1| + |x - 3|
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng trên ta có:
Bảng giá trị:
Đồ thị hàm số:
Câu 9: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy:
(d1 ):y = 2x - 3, (d2): y = x - 1, (d3): y = (m - 1)x + 2m
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (d1); (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
Câu 10: Cho điểm B(4; 1). Đường thẳng (d) đi qua B cắt Ox, Oy theo thứ tự tại I(a; 0), J(0; b) với a, b > 0
a) Viết phương trình đường thẳng d để diện tích Δ OIJ nhỏ nhất
b) Tìm b để (OI + OJ) nhỏ nhất
Lời giải:
a) Đường thẳng d đi qua B cắt Ox, Oy tại I (a; 0) và J(0; b) nên phương trình đường thẳng d:
b) Ta có: