Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay | Toán lớp 9
Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay
Với Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay Toán lớp 9 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 9.
A. Phương pháp giải
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
a. Dạng của hệ phương trình
- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi
- Ví dụ: Hệ phương trình 
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ 
Ta thấy mỗi phương trình của hệ không thay đổi nên hệ đã cho là hệ đối xứng loại 1
b. Cách giải
B1: Biến đổi biểu thức ở hai phương trình của hệ theo tổng và tích của x, y
B2: Đặt 
với điều kiện (S2 ≥ 4P)
B3: Tìm S, P thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P). Khi đó x, y là nghiệm của phương trình t2 – Sx + P = 0
B4: Kết luận
Ví dụ: giải hệ phương trình 
Giải
Từ S + P = 5 ⇒ P = 5 – S. Thế vào phương trình S2 + S -2P = 8 ta được
* Với S = 3 ⇒ P = 5 – 3 = 2 thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P)
Ta có 
, theo Vi-et x, y là nghiệm của phương trình:
Suy ra hệ có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1
* Với S = -6 ⇒ P = 5 – (-6) = 11 không thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) nên loại
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
a. Dạng của hệ phương trình
- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ không thay đổi
- Ví dụ: Hệ phương trình 
Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ 
Ta thấy phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ không thay đổi nên hệ đã cho là hệ phương trình đối xứng loại 2
b. Cách giải
- B1: Trừ vế với vế của hai phương trình cho nhau ta được phương trình dạng
-B2: Kết hợp (*) với 1 phương trình của hệ, kết hợp (**) với 1 phương trình của hệ ta được hai hệ phương trình. Giải hai hệ phương trình đó
-B3: Kết luận
Ví dụ: giải hệ phương trình 
Giải
Lấy (1) – (2) ta được:
Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Với x = 0 thì y = x = 0
Với x = 5 thì y = x = 5
Kết hợp x + y - 1 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Với x = -1 thì y = 1 – x = 1 + 1 = 2
Với x = 2 thì y = 1 – x = 1 - 2 = -1
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1)
B. Bài tập
Câu 1: Trong hệ phương trình 
nếu đặt S = x + y và P = xy thì hệ phương trình trở thành hệ nào sau đây
Giải
Hệ phương trình 
Khi đặt S = x + y và P = xy thì hệ phương trình trở thành 
Đáp án là D
Câu 2: Số nghiệm của hệ phương trình 
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
Với 
thì x, y là nghiệm của phương trình: 
Vậy hệ có hai nghiệm: (1;3), (3;1)
Đáp án là B
Câu 3: Số nghiệm của hệ phương trình 
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Giải
Lấy (1) – (2) ta được:
Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Với x = 0 thì y = x = 0
Với x = -2 thì y = x = -2
Kết hợp x + y + 4 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (0;0), (-2;-2)
Đáp án là B
Câu 4: Số nghiệm của hệ phương trình 
là
A. 1
B. 2
C. 3
D. vô số
Giải
Lấy (1) – (2) ta được:
Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Kết hợp x + y - 1 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm : (-1;-1), (
) và (x;1-x) với x là số thực tùy ý
Đáp án là D
Câu 5: Tìm m để hệ phương trình 
có ít nhất một nghiệm (x;y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là
Giải
Hệ phương trình 
Đặt 
.
Khi đó hệ phương trình trở thành 
S, P là nghiệm của phương trình X2 – (m + 1).X + m = 0 
Suy ra S = m, P = 1 hoặc S = 1, P = m
* Với S = m, P = 1 thì hệ (1) có nghiệm x > 0, y > 0
* Với S = 1, P = m thì hệ (1) có nghiệm x > 0, y > 0
Vậy với 
hoặc m ≥ 2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn đầu bài
Đáp án là C
Câu 6: Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm
Giải
Lấy (1) – (2) ta được:
Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Kết hợp x + y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:
Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm hoặc (**) có nghiệm
Đáp án là B
Câu 7: Trong hệ phương trình 
nếu đặt S = x + y và P = xy thì giá trị của S và P là
A. S = 5, P = 6
B. S = -5, P = 6
C. S = 5, P = -6
D. S = -5, P = -6
Giải
Hệ phương trình 
Đặt S = x + y và P = xy thì hệ trở thành 
Đáp án là A
Câu 8: Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất
A. m = 0
B. m = 2
C. m = -3
D. m = -2
Giải
Điều kiện cần: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ
Suy ra hệ phương trình có nghiệm thì x0 = y0
Vì x0 là duy nhất nên (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ꞌ = 0
⇔ 4 – 2(4 – m) = 0
⇔ 4 – 8 + 2m = 0
⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2
Điều kiện đủ: Với m = 2 thì hệ có dạng 
Vậy với m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
Đáp án là B
